Vector aleatorio

Un vector aleatorio es un vector formado por una o más variables aleatorias escalares. Por variable aleatoria escalar nos referimos a una variable que toma valores en un cuerpo. Normalmente, este cuerpo es el de los números reales o el de los números complejos.

Distribución de Probabilidad

Cada vector aleatorio da lugar a una medida de probabilidad en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ con la Álgebra de Borel como la sigma álgebra subyacente. Esta medida también es conocida como distribución de probabilidad conjunta, distribución conjunta o distribución multivariada de un vector aleatorio.

Las distribuciones de cada una de las variables aleatorias componentes ${\displaystyle X_{i}}$ son llamadas distribuciones marginal. La distribución de probabilidad condicional de ${\displaystyle X_{i}}$ dado ${\displaystyle X_{j}}$ es la distribución de probabilidad de ${\displaystyle X_{i}}$ cuando ${\displaystyle X_{j}}$ es conocida.

La función de distribución acumulada ${\displaystyle F_{X}:\mathbb {R} ^{n}\to [0,1]}$ de un vector aleatorio ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\dots ,X_{n})^{T}}$ está definida como

${\displaystyle F_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} )=\operatorname {P} [X_{1}\leq x_{1},\dots ,X_{n}\leq x_{n}]}$

donde ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})^{T}}$.

Otros ejemplos de distribuciones vectoriales son la distribución de Dirichlet y la distribución multivariante de Student.