Aritmeettinen funktio

Aritmeettinen funktio eli lukuteoreettinen funktio on kuvaus, joka on määritelty luonnollisille luvuille ja joka saa arvoksi kompleksilukuja. Aritmeettiset funktiot liittyvät lähinnä lukuteoriaan ja laskettavuuden teoriaan.

Aritmeettisia funktioita tutkitaan paljon Bellin sarjojen avulla. Funktiojoukkoa voidaan käsitellä myös kommutatiivisena renkaana kahteen joukossa määriteltyyn operaatioon nähden. Funktiojoukon tärkeimmät osajoukot ovat additiiviset ja multiplikatiiviset funktiot.

Matemaattisia määritelmiä

Formaalisti aritmeettiset funktiot määritellään seuraavasti:

${\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {C} ,}$

missä ${\displaystyle \mathbb {N} }$ tarkoittaa luonnollisten lukujen joukkoa ${\displaystyle \left\{1,2,3,...\right\}}$ ja ${\displaystyle \mathbb {C} }$ kompleksilukujen joukkoa.

Aritmeettiset funktiot muodostavat joukon, jonka keskuudessa voidaan määritellä erilaisia binäärioperaatioita. Nämä operaatiot siis muodostavat kahdesta joukon funktiosta uuden funktion. Keskeisiä operaatioita ovat seuraavat:

• summa ${\displaystyle f+g}$, jota tarvitaan additiivisten funktioiden määrittelyssä sekä renkaan muodostamisessa:

${\displaystyle (f+g)(n)=f(n)+g(n)\,\!}$

• tulo ${\displaystyle fg}$, jota tarvitaan multiplikatiivisten funktioiden määrittelyssä:

${\displaystyle (fg)(n)=f(n)g(n)\,\!}$

• Dirichlet'n tulo eli Dirichlet'n konvoluutio ${\displaystyle f*g}$, jota tarvitaan renkaan muodostamisessa:

${\displaystyle (f*g)(n)=\sum _{d|n,d>0}{f(d)g(n/d)}\,.}$

Näissä ${\displaystyle f}$ ja ${\displaystyle g}$ ovat aritmeettisia funktioita ja ${\displaystyle n}$ on positiivinen kokonaisluku. Merkintä ${\displaystyle d|n}$ tarkoittaa, että ${\displaystyle n}$ on jaollinen ${\displaystyle d}$:llä.

Funktiojoukon algebrallinen rakenne

Aritmeettisten funktioiden joukko ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ muodostaa yllä määriteltyjen summan ja Dirichlet'n tulon kanssa kommutatiivisen renkaan ${\displaystyle ({\mathcal {A}},+,*)}$. Tämän renkaan nolla- ja ykkösalkiot ovat aritmeettiset funktiot ${\displaystyle f_{0}}$ ja ${\displaystyle E_{0}}$, jotka määritellään seuraavasti:

${\displaystyle f_{0}(n)=0,\,\!}$

${\displaystyle E_{0}(n)=\left\{{\begin{matrix}1,&kun&n=1,\\0,&kun&n>1.\end{matrix}}\right.}$

${\displaystyle ({\mathcal {A}},+,*)}$ ei ole kunta, sillä kaikille funktiojoukon funktioille ei löydy käänteisfunktiota Dirichlet'n tulon suhteen. Käänteisfunktio on vain sellaisilla aritmeettisilla funktioilla, joilla ${\displaystyle f(1)\neq 0}$.

Esimerkkejä

Aritmeettisia funktioita ovat esimerkiksi seuraavat:

• ${\displaystyle f(n)=\sigma (n)=\sum _{d|n,d>0}d}$, tekijöiden summa -funktio

• ${\displaystyle f(n)=ni,\,\!}$ ${\displaystyle kun\,\!}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ (tässä ${\displaystyle i\,\!}$ on imaginaariyksikkö)
• ${\displaystyle g(n)=\left\{{\begin{matrix}n,&kun&n\leq 10,n\in \mathbb {N} ,\\11,&kun&n>10,n\in \mathbb {N} .\end{matrix}}\right.}$

Aritmeettisten funktioiden generoivia funktioita

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta (s)}}}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {d(n)^{2}}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)^{4}}{\zeta (2s)}}}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {2^{\omega (n)}}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)^{2}}{\zeta (2s)}}}$

Lähteet

• William J. LeVeque, Fundamentals of Number Theory, 1996, Courier Dover Publications
• Elliott Mendelson, Introduction to Mathematical Logic, 1987, CRC Press
• Pentti Haukkanen: Lukuteoriaa Tampereen yliopisto. Arkistoitu 2.10.2006. Viitattu 18. syyskuuta 2007.
• Matti Jutila & Iiro Honkala: Lukuteoria Syksy 2007. Turun yliopisto. Viitattu 18. syyskuuta 2007.