Funktion raja-arvo

Funktion raja-arvo on matematiikassa analyysin ja differentiaali- ja integraalilaskennan peruskäsitteitä. Erotukseksi raja-arvon yläkäsitteestä, funktion raja-arvoilla tarkoitetaan jatkuvien funktioiden raja-arvolaskentaa, missä tutkitaan funktion käyttäytymistä annetun muuttujan arvon lähiympäristössä. Jos raja-arvo on olemassa, sanotaan että funktio suppenee (muutoin hajaantuu) kyseisessä kohdassa. Funktion raja-arvoa tarvitaan esimerkiksi funktion jatkuvuuden toteamiseksi, funktion derivaatan laskemisessa ja monissa analyysin ja differentiaalilaskennan tarkasteluissa. Funktion raja-arvo eroaa lukujonon raja-arvosta siinä, että funktion raja-arvossa seurataan funktion arvoja, kun muuttujan arvot lähestyvät tutkittavaa kohtaa lukujonon raja-arvon tapaan. Raja-arvoteoria kehitettiin nykymuotoonsa 1800-luvulla.^[1][2][3]

Raja-arvo on latinaksi limes, mistä juontuu eräs sen matemaattisista merkinnöistä

${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=L,}$

joka luetaan "funktion f arvolla x raja-arvo on luku L, kun x lähestyy lukua p".^[4]

Sen toinen merkintätapa on

${\displaystyle f(x)\to L{\text{, kun }}x\to p,}$

joka luetaan edelliseen tapaan.^[5]

Intuitiivinen määritelmä ei ole riittävän eksakti matematiikan käyttöön, mutta sen avulla voi helpommin ymmärtää funktion raja-arvon käsitettä. Jos funktion arvoa f(p) ei voi, taikka saa laskea tietyllä luvulla p, voi funktion arvon likiarvoja laskea käyttämällä muita (luvun p viereisiä) lukuja x. Mitä pienempi on lukujen p ja x välinen ero (erotus), sitä paremmin funktion arvo f(x) vastaisi kuviteltua funktion arvoa f(p) (jos sen arvon voisi/saisi laskea). Tämän huomaa siitäkin, että mitä vähemmän luvut x poikkeavat luvusta p, sitä vähemmän funktion arvot poikkeavat toisistaan. Voidaan ajatella, että funktion arvot olisivat likiarvoja raja-arvolle L, ja että likiarvot tarkentuisivat lukujen x arvojen lähestyessä luvun p arvoa.

Toinen intuitiivinen tapa on keksiä lukujono ${\displaystyle (x_{i})}$, joka lähestyisi lukua p lukujonon raja-arvon mielessä. Tämän lukujonon arvoilla ${\displaystyle x_{i}}$ laskettaisiin funktion arvoja, jolloin saataisiin funktioiden arvojen lukujono ${\displaystyle f(x_{i})}$. Funktion arvojen lukujono lähestyisi raja-arvoa L lukujonon raja-arvon mielessä.

Kun raja-arvojen määrittäminen on helppoa, ja näin onkin koulumatematiikassa, voidaan raja-arvon olemassaolo todeta toispuoleisten raja-arvojen avulla (katso jäljempänä). Kun

${\displaystyle \lim _{x\to p+}f(x)=\lim _{x\to p-}f(x)=L,}$

missä L on äärellinen luku, ensimmäinen raja-arvo on oikeanpuoleinen raja-arvo ja toinen vasemmanpuoleinen raja-arvo, on raja-arvo olemassa ja sen arvo on L eli

${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=L.}$ ^{[2][4][5][6][7]}

Raja-arvon likiarvon voi löytää kokeilemalla. Esimerkiksi funktio ${\displaystyle f(x)={\sin {x} \over x}}$ on määritelty kaikkialla muualla reaalilukualueella paitsi nollassa (${\displaystyle \mathbb {R} \diagdown \{0\}.}$) Jos aloitetaan laskemalla lukujonoon funktion arvoja ${\displaystyle f(1),f(0,1),f(0,01),f(0,001),\dots }$ niin, että ${\displaystyle x\to 0.}$ Huomataan, että tulokset muodostavat kasvavan lukujonon, joka lähestyy lukua 1 (vertaa viereinen taulukko). Tämä vastaa toispuoleista raja-arvoa, kun nollaa lähestytään oikealta eli

${\displaystyle \lim _{x\to 0+}f(x)=1.}$

Kun funktion arvoja lasketaan luvuilla, jotka saadaan, kun nollaa lähestytään vasemmalta puolelta, saadaan ${\displaystyle f(-1),f(-0,1),f(-0,01),f(-0,001),\dots }$. Nämä muodostavat myös kasvavan lukujonon, joka lähestyy lukua 1 eli

${\displaystyle \lim _{x\to 0-}f(x)=1.}$.

Koska kummankin lukujonon raja-arvo vaikuttaa olevan yksi, voidaan sitä pitää perusteltuna ehdokkaana. Lopullisen varmuuden siitä saadaan vasta epsilon-delta-tekniikalla (katso seuraava luku).^[8] Vertaa myös sinin sarjakehitelmästä saatavaan tulokseen.

Karl Weierstrassin esittämä määritelmä tunnetaan nimellä epsilon-delta-tekniikka. Siinä raja-arvon olemassaolo todistetaan etsimällä lukujen epsilon (${\displaystyle \epsilon }$) ja delta (${\displaystyle \delta }$) välille riippuvuus, josta voidaan näyttää suppenemisen tapahtuvan varmasti. Menetelmä on pääpiirteissään seuraava.^[3]

Funktion ${\displaystyle f}$ realilukuarvoinen määrittelyjoukko on ${\displaystyle A}$ niin, että ${\displaystyle f:A\to \mathbb {R} }$ on reaaliarvoisen funktion kuvaus. Määrittelyjoukossa on väli, josta puuttuu sisältä luku p, eli ${\displaystyle [a,b]\diagdown \{p\}}$ (luku p voi sisältyä väliin, mutta se ei ole välttämätöntä). Funktiolla on raja-arvo L kohdassa p, jos kaikilla luvuilla ${\displaystyle \epsilon >0}$ on aina olemassa luku ${\displaystyle \delta >0}$ siten, että

${\displaystyle |f(x)-L|<\epsilon {\text{, kun }}0<|x-p|<\delta .}$ ^[2]

Siis, valittiinpa positiivinen luku ${\displaystyle \epsilon }$ kuinka pieneksi hyvänsä, niin aina löytyy positiivinen luku ${\displaystyle \delta }$ siten, että kaikilla korkeintaan ${\displaystyle \delta }$:n etäisyydellä olevilla luvuilla ${\displaystyle x}$ ovat funktion ${\displaystyle f(x)}$ arvot korkeintaan ${\displaystyle \epsilon }$:n etäisyydellä raja-arvosta L. Toistamalla ${\displaystyle \epsilon }$:n pienentämisen, tulisi myös ${\displaystyle \delta }$ pienentyä vastaavasti. Tämän voi todeta, kun ${\displaystyle \delta }$:n arvolle saa laskemalla määritettyä korreloivan riippuvuuden lukuun ${\displaystyle \epsilon }$.^[9]

Funktiolla ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ on toki olemassa arvo luvulla ${\displaystyle x=3}$, joka on ${\displaystyle f(3)=3^{2}=9}$. Eksaktilla määritelmällä voidaan nyt osoittaa, että luku 9 on funktion raja-arvo L, kun luvut x lähestyvät lukua p = 3. Siis osoitetaan, että (lähde:^[2])

${\displaystyle \lim _{x\to 3}f(x)=\lim _{x\to 3}x^{2}=9.}$

Valitaan ensin funktion arvon ja raja-arvon L = 9 erotuksen suuruuden ylärajaksi ${\displaystyle \epsilon }$ siten, että

${\displaystyle |f(x)-L|=|x^{2}-9|<\epsilon ,}$

missä ${\displaystyle \epsilon >0}$. Tutkitaan sitten, kuinka läheltä arvoa p = 3 tulee x valita, että ollaan korkeintaan ${\displaystyle \epsilon }$:in etäisyydellä raja-arvosta. Erään muistikaavan avulla saadaan tästä

${\displaystyle |x^{2}-9|=|x-3||x+3|,}$

ja kun x on riittävän lähellä arvoa p = 3, on

${\displaystyle |x-3|<1}$

ja

${\displaystyle |x+3|=|x-3+3+3|\leq |x-3|+2|3|\leq 1+2|3|=7.}$

Nyt huomataan että ${\displaystyle \epsilon }$ ja ${\displaystyle \delta }$ riippuvat toisitaan. Siis

${\displaystyle |x^{2}-9|\leq |x-3|\cdot 7<\epsilon ,}$

kunhan

${\displaystyle 0<|x-3|<{\epsilon \over 7},}$

jolloin valitaan ${\displaystyle \delta =min\{{\epsilon \over 7},1\}}$.

Viimeisestä valinnasta huomataan, että kun ${\displaystyle \epsilon }$:ia pienennetään, pienenee myös ${\displaystyle \delta }$. Erityisesti, valitsemalla x luvun 3 läheltä, saadaan se funktiolle arvoa 9 läheltä olevan likiarvon, ja tätä likiarvoa voidaan parantaa rajattomasti valitsemalla x riittävän läheltä lukua 3. Tätä kutsutaan suppenemiseksi ja suppenemisen tulosta raja-arvoksi.^[10]

Funktion toispuoleinen raja-arvo eroaa funktion raja-arvosta siinä, että epsilon-delta-tekniikassa deltan arvo ei riippu enää erotuksen itseisarvosta, vaan ainoastaan erotuksesta. Koska delta on aina positiivinen luku, tulee lukujen x ja p erotus kirjoittaa niin, että erotus säilyttää positiivisuutensa. Lukusuoralta katsottuna, x lähestyy lukua p vain toiselta puolelta. Toispuolista raja-arvoa tarvitaan sellaisissa tilanteissa, joissa raja-arvoa ei voi laskea annetun pisteen molemmilta puolilta. Tällaisia pisteitä esiintyy esimerkiksi määrittelyjoukon reunoissa tai suljettujen välien reunoissa.

Oikeanpuoleinen raja-arvo määritellään niin, että koska luvut x ovat lukua p suurempia eli lukusuoralla lähestytään lukua p oikealta puolelta, lasketaan deltan arvo ${\displaystyle x-p}$. Silloin epsilon-delta-tekniikassa toteutetaan ehtoja

${\displaystyle \lim _{x\to p+}f(x)=L^{+}\Leftrightarrow |f(x)-L|<\epsilon {\text{, kun }}0<x-p<\delta .}$

Raja-arvon L yläkulmaan merkittyä plus-merkkiä ei aina käytetä. Vasemmanpuoleisessa raja-arvossa lukua p lähestytään lukusuoralla vasemmalta päin, koska luvut x ovat aina lukua p pienempiä. Epsilon-delta-tekniikassa suppeneminen toteuttaa ehdot

${\displaystyle \lim _{x\to p-}f(x)=L^{-}\Leftrightarrow |f(x)-L|<\epsilon {\text{, kun }}0<p-x<\delta .}$

^[2][4][11]

Funktion epäoleellisella raja-arvolla tarkoitetaan funktion arvojen tutkimista, kun muuttujan arvo joko kasvaa tai vähenee rajatta. Kyse ei ole enää funktion käyttäytymisestä yhden pisteen lähiympäristössä, vaan epäoleellista raja-arvoa käytetään tutkittaessa funktion käyttäytymistä origosta katsottuna "kaukaisilla" arvoilla ja hyvin pitkillä väleillä.

Kun muuttujan arvo kasvaa rajatta, merkitään se

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f(x)=L,}$

jolloin funktion lauseke lasketaan yhä suuremmilla ja suuremmilla arvoilla (voidaan sanoa "kun x lähestyy plus ääretöntä"). Kun muuttuja vähenee rajatta, merkitään se

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=L,}$

jolloin lauseke lasketaan yhä pienemmillä (negatiivisilla) arvoilla (voidaan sanoa "kun x lähestyy miinus ääretöntä"). Jos raja-arvo tällöin suppenee, merkitään sen arvoa L luvulla. Tällöin sanotaan, että "funktiolla on positiivisessa / negatiivisessa äärettömyydessä raja-arvo L". Jos raja-arvo hajaantuu, merkitään raja-arvon tulos

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f(x)=+\infty ,}$

jos tulos kasvaa rajatta ja

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f(x)=-\infty ,}$

jos tulos vähenee rajatta.^[12]

Funktion epäoleellinen raja-arvo, josta tässä otetaan esimerkkinä

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f(x)=L,}$

määritellään eksaktisti epsilon-tekniikalla

${\displaystyle |f(x)-L|<\epsilon {\text{, kun }}x>M_{\epsilon },}$

eli funktion arvo ${\displaystyle f(x)}$ on ${\displaystyle \epsilon }$:n etäisyydellä raja-arvosta L, kun muuttuja x on ylittänyt rajan ${\displaystyle M_{\epsilon }}$. Intuitiivisesta voidaan ajatella, että funktion arvot osuvat riittävän lähelle raja-arvoa L, kunhan muuttuja x kasvatetaan tarpeeksi suureksi.^[2]

Funktioteoriassa käsitellään funktioita, joiden muuttujat ovat kompleksilukuja (muodossa ${\displaystyle z=x+iy}$) ja joiden arvoksikin saadaan kompleksilukuja. Koska kahden kompleksiluvun suuruusjärjestys ei ole määritelty samalla tavalla kuin reaaliluvuilla, käytetään niiden vertailuun itseisarvon sijaan toista metriikkaa ja jota kutsutaan kompleksiluvun moduuliksi. Luvun z moduuli lasketaan ${\displaystyle |z|=|x+iy|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$ Moduuli merkitään samoilla pystyviivoilla kuin itseisarvo, jolloin kahden kompleksiluvun välinen ero (etäisyys kompleksitasolla) merkitään luonnollisella tavalla ${\displaystyle |a-b|.}$

Jos merkitään kompleksilukujen muuttujia ${\displaystyle z=x+iy}$, ja tietyssä alueessa G (sisältää luvun ${\displaystyle z_{0}}$) määriteltyä kompleksifunktiota ${\displaystyle f(z)=u(x,y)+iv(x,y)}$, pystytään joskus määrittämään funktion ${\displaystyle f(z)}$ raja-arvo

${\displaystyle \lim _{z\to z_{0}}f(z).}$

Kompleksilukujen luonteeseen kuuluu, että alue G voi olla pisteen ${\displaystyle z_{0}}$ ympäröimä epämääräinen kaksiulotteinen alue, mutta yleensä pitäydytään ympyrän muotoiseen alueeseen. Luku z voi lähestyä alueen sisällä olevaa lukua ${\displaystyle z_{0}}$ mistä suunnasta hyvänsä. Siksi etäisyys lukuun ${\displaystyle z_{0}}$ määritelläänkin kompleksilukujen erotuksen modulina

${\displaystyle |z-z_{0}|=|(x+iy)-(x_{0}+iy_{0})|=|(x-x_{0})+i(y-y_{0})|={\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}}$

Tällä itseisarvon laajennuksella voidaan funktioteoriassa esittää funktion raja-arvo vastaavilla merkinnöillä kuin reaalilukufunktioiden raja-arvot. Kun muistetaan kompleksilukujen moduulin laskutapa, saadaan raja-arvon eksakti määritelmä seuraavasti. Funktiolla on raja-arvona kompleksiluku L kohdassa ${\displaystyle z_{0}}$, jos kaikilla luvuilla ${\displaystyle \epsilon >0}$ on aina olemassa luku ${\displaystyle \delta >0}$ siten, että

${\displaystyle |f(z)-L|<\epsilon {\text{, kun }}0<|z-z_{0}|<\delta .}$

Raja-arvolla on keskeinen osa funktion jatkuvuuden toteamisessa. Funktio on jatkuva pisteessä p, mikäli sen toispuoleiset raja-arvot vasemmalta ja oikealta ovat keskenään samat kuin funktion ${\displaystyle f(p)}$ arvo:

${\displaystyle \lim _{x\to p+}f(x)=\lim _{x\to p-}f(x)=f(p).}$

Funktio on jatkuva välinsä päätepisteessä, mikäli toispuoleinen raja-arvo on sama kuin funktion arvo päätepisteessä. Funktio on jatkauva välissä, mikäli se on jatkuva kaikissa välin pisteissä, ja koko määrittelyjoukossa, mikäli se on jatkuva jokaisessa määrittelyjoukon pisteessä.^[13][14][15]

Derivaatta määritellään erotusosamäärän raja-arvona tutkittavassa pisteessä ${\displaystyle x_{0}}$. Se voidaan merkitä raja-arvolausekkeena

${\displaystyle f'(x)=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.}$^[16][17]

Jos funktioilla ${\displaystyle f(x)}$ ja ${\displaystyle g(x)}$ on olemassa raja-arvot (${\displaystyle \lim \limits _{x\to p}g(x)=G\neq 0}$), niin silloin on voimassa seuraavat säännöt:

${\displaystyle \lim _{x\to c}k={\text{, kun }}\,k\in \mathbb {R} \,}$

${\displaystyle \lim \limits _{x\to p}kf(x)=k\lim _{x\to c}f(x)=k\cdot F}$

${\displaystyle \lim \limits _{x\to p}(f(x)+g(x))=\lim \limits _{x\to p}f(x)+\lim \limits _{x\to p}g(x)=F+G}$

${\displaystyle \lim \limits _{x\to p}(f(x)-g(x))=\lim \limits _{x\to p}f(x)-\lim \limits _{x\to p}g(x)=F-G}$

${\displaystyle \lim \limits _{x\to p}(f(x)\cdot g(x))=\lim \limits _{x\to p}f(x)\cdot \lim \limits _{x\to p}g(x)=F\cdot G}$

${\displaystyle \lim \limits _{x\to p}(f(x)/g(x))={\lim \limits _{x\to p}f(x)/\lim \limits _{x\to p}g(x)}=F/G}$

Näillä säännöillä voi määrittää lausekkeiden raja-arvon, kunhan funktioiden raja-arvot tunnetaan ensin.

Yhdistetyillä funktioilla

${\displaystyle \lim _{y\to p}f(y)=L{\text{ ja }}\lim _{x\to a}g(x)=p{\text{ }}\Rightarrow \lim _{x\to a}f(g(x))=L}$

Differentiaali- ja integraalilaskenta kehittyi asteittain nykyisekseen 1600-luvulta alkaen. Raja-arvon modernin tulkinnan esitti vuonna 1817 Bernard Bolzano, joka esitteli tuolloin epsilon-delta-tekniikan jatkuvien funktioiden toteamiseksi. Tätä voidaan pitää reaaliarvoisten funktioiden riittävän tarkkana raja-arvon määritelmänä. Augustin Louis Cauchy käsittely julkaisussaan "Cours d'analyse" (vuonna 1821) raja-arvoja ja antoi siinä modernin määritelmän raja-arvolle. Vasta Karl Weierstrass esitti raja-arvojen epsilon-delta-tekniikan siinä muodossa kuin se nykyään tunnetaan. Myös limes-merkintä on hänen ehdotuksensa. Bolzanon työ jäi melko tuntemattomaksi ja Cauchy esitti raja-arvon määritelmänsä lähinnä verbaalisena selostuksena. Siksi Weierstrassin merintätavat korostuvat raja-arvon keksimisen historiassa. Silti, G. H. Hardyn käyttämä tapa sijoittaa nuoli lim-sanan alle on nykyään yleisin merkintätapa.^{[18][19][3][20][21]}

• Lukujonon raja-arvo

• Alatupa, Sami & Hassinen, Sanna & Hemmo, Katariina & Leikas, Mika: Pitkä Sigma 7. (lukion pitkän matematiikan oppikirja). Helsinki: Sanoma Pro, 2014. ISBN 978-952-63-0307-9.
• Kontkanen, Pekka & Lehtonen, Jukka & Luosto, Kerkko & Liira, Riitta & Ronkainen, Anja: Pyramidi 7 – Derivaatta. (lukion pitkän matematiikan oppikirja). Helsinki: Tammi. ISBN 978-951-26-5401-7.
• Kontkanen, Pekka & Lehtonen, Jukka & Luosto, Kerkko: Pyramidi 13 – Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi. (lukion pitkän matematiikan oppikirja). Helsinki: Tammi. ISBN 978-951-26-5407-9.
• Kangasaho, Jukka & Mäkinen, Jukka & Oikkonen, Juha & Paasonen, Johannes & Salmela, Maija & Tahvanainen, Jorma: Pitkä matematiikka 13 – Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi. (lukion pitkän matematiikan oppikirja). Helsinki: Wsoy. ISBN 978-951-0-29168-9.
• Hurri-Syrjänen, Ritva: Differentiaali- ja integraalilaskenta I (Arkistoitu – Internet Archive), (luentomoniste), Helsingin yliopisto, 1999

• Encyclopedia of Math: Limit,