Gammafunktion kuvaaja pienillä positiivisilla arvoilla Gammafunktio on funktio, jolle käytetään symbolia Γ {\displaystyle \Gamma }
Γ ( r ) = ∫ 0 ∞ x r − 1 e − x d x {\displaystyle \Gamma (r)=\int _{0}^{\infty }x^{r-1}e^{-x}\,dx} [1]
Gammafunktio on määritelty kaikilla arvoilla paitsi ei-positiivisilla kokonaisluvuilla. Näissä pisteissä integraalin raja-arvo on ääretön. Kaikista kertomafunktion yleistyksistä gammafunktio on erityinen, sillä Bohrin-Mollerupin lauseen mukaan se on ainoa, joka on logaritmisesti konveksi ts. sen luonnollinen logaritmi on konveksi.
Gammafunktion arvoa ei pysty antamaan suljetussa muodossa mielivaltaisessa pisteessä.
Gammafunktioon saavutaan, kun toistuvasti derivoidaan integraaliyhtälöä I = ∫ 0 ∞ e − a x d x = 1 a {\displaystyle I=\int _{0}^{\infty }e^{-ax}dx={\frac {1}{a}}} I {\displaystyle I\,\!} a funktio, kuten voimme odottaa. Siispä:
d I d a = ∫ 0 ∞ ∂ ∂ a ( e − a x ) d x = d d a ( 1 a ) {\displaystyle {\frac {dI}{da}}=\int _{0}^{\infty }{\frac {\partial }{\partial a}}\left(e^{-ax}\right)dx={\frac {d}{da}}\left({\frac {1}{a}}\right)} josta
∫ 0 ∞ x e − a x d x = 1 a 2 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }xe^{-ax}dx={\frac {1}{a^{2}}}} Toistetaan:
∫ 0 ∞ x 2 e − a x d x = 1 × 2 a 3 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2}e^{-ax}dx={\frac {1\times 2}{a^{3}}}} Toistetaan:
∫ 0 ∞ x 3 e − a x d x = 1 × 2 × 3 a 4 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{3}e^{-ax}dx={\frac {1\times 2\times 3}{a^{4}}}} ⋮ {\displaystyle \vdots } ∫ 0 ∞ x n e − a x d x = n ! a n + 1 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-ax}dx={\frac {n!}{a^{n+1}}}} Sijoitetaan a = 1 {\displaystyle a=1\,\!}
n ! = ∫ 0 ∞ x n e − x d x {\displaystyle n!=\int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-x}dx} josta määrittelemme gammafunktion
Γ ( p ) = ∫ 0 ∞ x p − 1 e − x d x p ≥ 0 {\displaystyle \Gamma \left(p\right)=\int _{0}^{\infty }x^{p-1}e^{-x}dx\qquad p\geq 0} n!:n yleistykseksi kompleksiluvuille. Luonnollisille luvuille:
Γ ( p ) = ( p − 1 ) ! p = 1 , 2 , 3 , ⋯ {\displaystyle \Gamma \left(p\right)=\left(p-1\right)!\qquad p=1,2,3,\cdots }
Gammafunktion ominaisuuksia Jos n {\displaystyle n} Γ ( n ) = ( n − 1 ) ! {\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!} Jos n {\displaystyle n} Γ ( 2 n + 1 2 ) = 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ … ⋅ ( 2 n − 1 ) 2 n π {\displaystyle \Gamma \left({\frac {2n+1}{2}}\right)={\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2^{n}}}{\sqrt {\pi }}} Γ ( 1 2 ) = π {\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}} Gammafunktio voidaan määritellä myös raja-arvona: Γ ( z ) = lim n → ∞ n ! n z z ( z + 1 ) … ( z + n ) {\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\;n^{z}}{z\;(z+1)\ldots (z+n)}}} Katso myös Gamma-jakauma, Beta-jakauma Lähteet ↑ Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja , s. 114. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0. Kirjallisuutta Jalava, Väinö: Johdatus funktionaalianalyysiin . Moniste 95. Tampere: TTKK, 1983. ISBN 951-720-831-6. Laasonen, Pentti: Matemaattisia erikoisfunktioita . Moniste 261. Otaniemi: TKK, 1971. Aiheesta muualla Commons Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Gammafunktio .
Mathworld. Gamma Function (englanniksi) 
