Goldbachin heikko konjektuuri

 Tähän artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lähteitä, joten tiedot kannattaa tarkistaa muista tietolähteistä.
Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkeliin tarkistettavissa olevia lähteitä ja merkitsemällä ne ohjeen mukaan.

Goldbachin heikko konjektuuri on matematiikan avoin ongelma, jonka mukaan jokainen lukua 7 {\displaystyle \scriptstyle 7} suurempi pariton kokonaisluku n {\displaystyle \scriptstyle n} on kolmen alkuluvun summa. Otaksuma tunnetaan myös nimillä pariton Goldbachin konjektuuri ja kolmen alkuluvun ongelma.

Edistyminen

  • 1923: Hardy ja Littlewood todistivat, että yleistetystä Riemannin hypoteesista seuraa Goldbachin heikko otaksuma kaikille riittävän suurille luvuille.[1]
  • 1937: Vinogradov todisti Siegelin–Walfiszin lauseen avulla otaksuman pätevän kaikille riittävän suurille luvuille ilman yleistettyä Riemannin hypoteesiä.[2]
  • 1956: Vinogradovin opiskelija K. Borozdkin todisti, että väite pätee kun n > e e 16,038 ≈ 3 3 15 {\displaystyle n>\mathrm {e} ^{\mathrm {e} ^{16{,}038}}\approx 3^{3^{15}}} .
  • 1997: Deshouillers, Effinger, te Riele ja Zinoviev todistivat, että yleistetystä Riemannin hypoteesista seuraa Goldbachin heikko otaksuma.[3]
  • 2002: Liu Ming-Chit ja Wang Tian-Ze onnistuivat todistamaan, että väite on voimassa kun n ≥ e 3100 . {\displaystyle \scriptstyle n\geq e^{3100}.} Raja on vielä liian suuri tietokoneiden läpikäytäväksi, mutta jokainen yksittäinen erikoistapaus on suuruusluokkansa puolesta tarkistettavissa.[4]
  • Toukokuuhun 2012 mennessä Goldbachin heikko konjektuuri on todistettu lukuun 5,906 98 ⋅ 10 29 {\displaystyle 5{,}90698\cdot 10^{29}} asti.[5]
  • Vuosina 2012, 2013 ja 2014 H. A. Helfgott lähetti Arxiviin kolme artikkelia, jotka todistivat otaksuman.[5][6][7][8][9] Todistus perustuu niin sanottuun major- ja minorkaariestimointiin, joka on kehitetty Hardyn–Littlewoodin ympyrämenetelmästä sekä otaksuman laskennalliseen varmistamiseen lukua 10 27 {\displaystyle 10^{27}} pienemmille ja seitsemää suuremmille parittomille luvuille. Tämän laskennallisen osuuden hän teki yhdessä David Plattin kanssa[10].

Parittomien lukujen esittäminen useamman alkuluvun summana

  • Vuonna 1995 Olivier Ramaré osoitti, että jokainen parillinen luku n ≥ 4 {\displaystyle n\geq 4} on korkeintaan kuuden alkuluvun summa. Tästä seuraa, että jokainen pariton luku n ≥ 5 {\displaystyle n\geq 5} on korkeintaan seitsemän alkuluvun summa.[11]
  • Vuonna 1995 Leszek Kaniecki osoitti, että jokainen pariton kokonaisluku on korkeintaan viiden alkuluvun summa, kunhan Riemannin hypoteesi on voimassa. [12]
  • 2012: Terence Tao todisti, että jokainen pariton positiivinen kokonaisluku on korkeintaan viiden alkuluvun summa.[13]

Lähteet

  1. ↑ G. H. Hardy, J. E. Littlewood, "Some problems of `partitio numerorum' : III: on the expression of a number as a sum of primes," Acta Math., 44 (1923) 1–70. Reprinted in "Collected Papers of G. H. Hardy," Vol. I, pp. 561–630, Clarendon Press, Oxford, 1966.
  2. ↑ I. M. Vinogradov, "Representation of an odd number as a sum of three primes" Dokl. Akad. Nauk SSSR, 16 (1937) 179–195. Russian
  3. ↑ J. M. Deshouillers, G. Effinger, H. te Riele, D. Zinoviev, "A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann hypothesis," ERA Amer. Math. Soc., 3 (1997) 94–104.
  4. ↑ Liu Ming-Chit, Wang Tian-Ze "On the Vinogradov bound in the three primes Goldbach conjecture.", Acta Arith., 105, No.2, 133–175 (2002)
  5. ↑ a b H. A. Helfgott, Minor Arcs for Goldbach's problem, http://arxiv.org/abs/1205.5252
  6. ↑ Artem Kaznatcheev, PRIME NUMBERS: THE 271 YEAR OLD PUZZLE RESOLVED http://www.truthiscool.com/prime-numbers-the-271-year-old-puzzle-resolved (Arkistoitu – Internet Archive)
  7. ↑ Terence Taon Google+-tili https://plus.google.com/u/0/114134834346472219368/posts/8qpSYNZFbzC
  8. ↑ H. A. Helfgott, Major arcs for Goldbach's theorem, http://arxiv.org/pdf/1305.2897v1
  9. ↑ H. A. Helfgott, The ternary Goldbach conjecture is true http://arxiv.org/abs/1312.7748
  10. ↑ H. A. Helfgott, D. Platt, Numerical Verification of the Ternary Goldbach Conjecture up to 8.875e30 http://arxiv.org/abs/1305.3062
  11. ↑ Olivier Ramaré, "On Šnirel'man's constant", Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci., vol. 22, no 4, 1995, p. 645–706
  12. ↑ Kaniecki, Leszek (1995). "On Šnirelman's constant under the Riemann hypothesis". Acta Arithmetica 4. pp. 361–374
  13. ↑ Terence Tao, Every odd number greater than 1 is the sum of at most five primes, http://arxiv.org/pdf/1201.6656v4
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.