Hamiltonin operaattori

Hamiltonin operaattori, lyhyesti hamiltoni,^[1] vastaa kvanttimekaniikassa systeemin kokonaisenergiaoperaattoria. Hamiltonin operaattori siirtää myös tilavektoria ajassa eteenpäin Schrödingerin yhtälön mukaisesti.

Klassisessa mekaniikassa Hamiltonin operaattoria vastaa Hamiltonin funktio, joka kuvaa mekaanista systeemiä paikka- ja liikemäärä­muuttujilla. Ne muodostavat perustan Hamiltonin mekaniikkana tunnetun klassisen mekaniikan uudelleen muotoilulle. Hamiltonin funktion arvo on konservatiivisen systeemin tapauksessa (eli yleensä) systeemin kokonaisenergia.

Yhtälöitä

Hamiltonin operaattori

Kvanttimekaaninen Hamiltonin operaattori muodostetaan klassisen mekaniikan Hamiltonin funktiosta korvaamalla paikka- ja liikemäärämuuttujat vastaavilla operaattoreilla. Paikkaesityksessä ne ovat ${\displaystyle {\hat {x}}\rightarrow {\vec {x}}}$ (paikkaoperaattori) ja ${\displaystyle {\hat {p}}\rightarrow -i\hbar \nabla }$ (liikemääräoperaattori). Hiukkaselle, jonka massa on m, Hamiltonin operaattori ${\displaystyle {\hat {H}}}$ voidaan kirjoittaa muodossa ^[2]

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V({\vec {x}})}$,

missä ${\displaystyle \textstyle \hbar ={h}/{2\pi }}$ on redusoitu Planckin vakio, ${\displaystyle \textstyle \nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}}$ Laplacen operaattori ja ${\displaystyle V({\vec {x}})}$ potentiaalienergia.

Schrödingerin yhtälö

Hamiltonin operaattori hallitsee aaltofunktion ${\displaystyle \Psi }$ ajanmuunnosta operoidessaan Schrödingerin yhtälössä ^{[3] [4]}

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\hat {H}}\Psi }$,

missä ${\displaystyle i}$ on imaginaariyksikkö ja ${\displaystyle t}$ aika. Näin ollen Schrödingerin yhtälö hiukkaselle, jonka massa on m, voidaan potentiaalissa ${\displaystyle V({\vec {x}})}$ esittää muodossa

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +V({\vec {x}})\Psi }$.

Katso myös

• Hamiltonin mekaniikka
• Schrödingerin yhtälö

Lähteet