Itseisarvo

Tämä artikkeli käsittelee matemaattista itseisarvoa. Itseisarvo on myös moraalifilosofian termi.

Itseisarvo kuvaa matematiikassa luvun suuruutta riippumatta sen etumerkistä. [1]

Reaaliluvun itseisarvo

Itseisarvon kuvaaja origon läheisyydessä. Kuvaajasta ilmenee, ettei itseisarvo voi saada negatiivisia arvoja.

Reaaliluvun itseisarvo on sen etäisyys lukusuoran nollasta riippumatta, onko luku positiivinen tai negatiivinen. Luvun a {\displaystyle a} itseisarvoa merkitään | a | {\displaystyle |a|} . Itseisarvon muodollinen määritelmä on

| a | = { a , jos  a ≥ 0 − a , jos  a < 0 . {\displaystyle |a|={\begin{cases}a,&{\mbox{jos }}a\geq 0\\-a,&{\mbox{jos }}a<0\end{cases}}.}

Positiivisen reaaliluvun ja nollan itseisarvo on luku itse, negatiivisen reaaliluvun itseisarvo on luvun vastaluku eli luku kerrottuna luvulla −1. Esimerkiksi luvun kolme itseisarvo merkitään | 3 | {\displaystyle |3|} ja se on 3. Miinus kahden itseisarvo puolestaan on kaksi, | − 2 | = 2 {\displaystyle |-2|=2} . Helpoiten negatiivisen lukuarvon itseisarvon saa lasketuksi poistamalla miinusmerkin.

Kompleksiluvun itseisarvo eli moduuli

Kompleksiluvun c = a + i b {\displaystyle c=a+ib} itseisarvo on | c | = | a + i b | = a 2 + b 2 {\displaystyle |c|=|a+ib|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}} . Tämä on sama kuin kompleksilukua c kompleksitasolla vastaavan pisteen etäisyys origosta. Kompleksilukujen itseisarvoa kutsutaan myös moduuliksi. Itseisarvo voidaan yhtäpitävästi esittää myös muodossa | c | = c ∗ ∗ c {\displaystyle |c|={\sqrt {c^{*}*c}}} , missä c* on luvun c kompleksikonjugaatti.[2]

Muita itseisarvoja

Vektorin itseisarvosta käytetään tavallisesti nimitystä normi ja se vastaa vektorin euklidista pituutta. Tavallisen kolmiulotteisen vektorin v pituus on

| v | = | a i + b j + c k | = a 2 + b 2 + c 2 {\displaystyle |\mathbf {v} |=|a\mathbf {i} +b\mathbf {j} +c\mathbf {k} |={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}

Kvaternion itseisarvo määritellään analogisesti vektorien kanssa

| q | = | a + i b + j c + k d | = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 {\displaystyle |q|=|a+ib+jc+kd|={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}}

Itseisarvon ominaisuuksia

Itseisarvolle voidaan todeta pätevän seuraavat laskusäännöt. Olkoon a , b ∈ R {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} } . Tällöin pätee

  | − a | = | a | {\displaystyle \ |-a|=|a|}
  | a b | = | a | | b | {\displaystyle \ |ab|=|a||b|}
  | a 2 | = | a | | a | = | a | 2 = a 2 {\displaystyle \ |a^{2}|=|a||a|=|a|^{2}=a^{2}}
  | a | − | b | ≤ | | a | − | b | | ≤ | a ± b | ≤ | a | + | b | {\displaystyle \ |a|-|b|\leq ||a|-|b||\leq |a\pm b|\leq |a|+|b|} (kolmioepäyhtälö)
| a b | = | a | | b | {\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}\right|={\frac {|a|}{|b|}}}


Lähteet

Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus : TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000-2013). 1020 sivua. Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry, 2015. ISBN 978-952-7010-12-9, 978-952-7010-13-6 (pdf download). Teoksen verkkoversio.

  1. ↑ Pitkäranta, s. 18
  2. ↑ Pitkäranta, s 224

Kirjallisuutta

  • Kivelä, Simo K.: Algebra ja geometria. Espoo: Otatieto, 1989. ISBN 951-672-103-6.
  • Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi I: Vektorialgebra ja analyyttinen geometria. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-067-0.