Komplementtikulmat

Komplementtikulmat muodostavat yhdessä suoran kulman

Komplementtikulmilla tarkoitetaan tasogeometriassa kahta kulmaa, joiden summa on 90° eli suora kulma. Jos komplementtikulmien kärjet asetetaan vierkkäin niin, että kärjet yhtyvät ja että toisen kulman vasen kylki yhtyy toisen kulman oikeaan kylkeen, muodostavat toiset kyljet suoran kulman. Komplementtikulman havaitseminen mahdollistaa eräiden trigonometristen funktioiden ominaisuuksien käytön laskennassa.[1][2]

Kulmien ominaisuuksia

Jos α ja β ovat toistensa komplementtikulmat, ovat seuraavat yhtälöt voimassa:

  • α + β = 90 ∘ {\displaystyle \alpha +\beta =90^{\circ }} (asteina)
  • α + β = π 2 {\displaystyle \alpha +\beta ={\tfrac {\pi }{2}}} (radiaaneina) [3]

Trigonometristen funktioiden arvot ovat vastaavasti seuraavat:

  • sin ⁡ α = cos ⁡ β {\displaystyle \sin \alpha =\cos \beta } [4]
  • tan ⁡ α = cot ⁡ β {\displaystyle \tan \alpha =\cot \beta } [5]
  • sec ⁡ α = csc ⁡ β {\displaystyle \sec \alpha =\csc \beta } [5]

Trigonometristen funktioiden suomalaisissa nimissä esiintyvä ko- etuliite viittaa komplementtikulmaan: kosini (cos) on komplementtikulman sini, kotangentti (cot) on komplementtikulman tangentti ja kosekantti (csc) komplementtikulman sekantti. lähde?

Pythagoraan lause voidaan kirjoittaa komplementtikulmien avulla uudelleen:

  • sin 2 ⁡ α + sin 2 ⁡ β = 1 {\displaystyle \sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta =1}
  • cos 2 ⁡ α + cos 2 ⁡ β = 1 {\displaystyle \cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta =1}

ja vastaavalla tavalla voidaan kirjoittaa uudelleen kaikki trigonometrian lausekkeet.

Esimerkkejä

  • Suorakulmaisen kolmion terävät kulmat ovat toistensa komplementtikulmia.
  • Vieruskulmien kulmanpuolikkaat ovat komplementtikulmia.

Katso myös

  • Suplementtikulmat
  • Eksplementtikulmat

Lähteet

  • Väisälä, Kalle: Geometria. Porvoo: Wsoy, 1959. Teoksen verkkoversio (pdf) (viitattu 16.4.2014).
  • Kontkanen, Pekka & al.: Pyramidi 3. (lukion pitkän matematiikan oppikirja). Helsinki: Tammi, 2005. ISBN 978-951-26-5059-0.

Viitteet

  1. ↑ Kontkanen, Pekka & al.: Geometria, 2005, s. 17
  2. ↑ Väisälä, Kalle: Geometria, s. 14
  3. ↑ Weisstein, Eric W.: Complementary Angles (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  4. ↑ Seppänen, Raimo et al.: MAOL, s. 37. (lukion taulukkokirja, keltainen). Helsinki: Otava, 2005. ISBN 978-951-1-20607-1.
  5. ↑ a b Spiegel, Murray R.: Mathematical Handbook of Formulas and Tables, s. 15. New York: McGraw-Hill Book Company, 1968. (englanniksi)