Lukumäärämitta

Tähän artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lähteitä, joten tiedot kannattaa tarkistaa muista tietolähteistä. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkeliin tarkistettavissa olevia lähteitä ja merkitsemällä ne ohjeen mukaan.

Lukumäärämitta tai laskurimitta on mitta, joka kertoo joukon alkioiden lukumäärän. Lukumäärämitta toimii lähinnä yksinkertaisena esimerkkinä mitasta, mutta sen avulla voidaan myös tutkia sarjateoriaa mittateorian perustulosten avulla.

Jos X on joukko, niin lukumäärämitta on kuvaus ${\displaystyle \mu :{\mathcal {P}}(X)\rightarrow [0,+\infty ]}$, jolle

${\displaystyle \mu (A)=\left\{{\begin{matrix}|A|,&{\textrm {jos}}\ A\ {\textrm {on}}\ {\textrm {aarellinen}}\\+\infty ,&{\textrm {muulloin}},\end{matrix}}\right.}$

missä merkintä |A| tarkoittaa äärellisen joukon alkioiden lukumäärää eli mahtavuutta. Lukumäärämitta toteuttaa mitan ehdot.

• Lukumäärämitalla on yhteys Diracin mittaan: jos ${\displaystyle A\subset X}$, niin

${\displaystyle \mu (A)=\sum _{x\in A}\delta _{x}(X).}$

• Lukumäärämitta yhtyy myös nollaulotteiseen Hausdorffin mittaan:

${\displaystyle \mu ={\mathcal {H}}^{0}.}$

• Lukumäärämittaa voidaan hyödyntää sarjateoriassa. Jos perusavaruus X on numeroituva, eli voimme kirjoittaa ${\displaystyle X=\{x_{i}:i\in \mathbb {N} \}}$, niin lukumäärämitan integraali palautuu tavalliseksi sarjaksi: jos ${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} }$, niin lukumäärämittaa vastaava mittaintegraali

${\displaystyle \int _{X}\,f\,d\mu =\sum _{i=1}^{\infty }f(x_{i}).}$

Tällöin myös funktion f lukumäärämittaintegroituvuus palautuu kysymykseen siitä suppeneeko edellä oleva sarja itseisesti.

Tämän tiedon avulla voimme osoittaa niin sanotun Hölderin epäyhtälön sarjoille käyttämällä ${\displaystyle L^{p}}$-normien vastaavaa Hölderin epäyhtälöä.