Lusinin lause

Tähän artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lähteitä, joten tiedot kannattaa tarkistaa muista tietolähteistä. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkeliin tarkistettavissa olevia lähteitä ja merkitsemällä ne ohjeen mukaan.

Matematiikassa Lusinin lause (tai myös Luzinin lause) on reaalianalyysin lause, joka on nimetty Nikolai Luzinin mukaan. Lusinin lause on toinen muotoilu Littlewoodin toisesta periaatteesta.

Sen mukaan jokainen mitallinen funktio on melkein jatkuva:

Olkoon väli ${\displaystyle [a,b]}$ annettu ja olkoon ${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {C} }$ mitallinen funktio. Tällöin ${\displaystyle \forall \epsilon >0}$ on olemassa kompakti ${\displaystyle E\subset [a,b]}$ siten, että f rajoitettuna E:hen on jatkuva ja ${\displaystyle \mu (E^{C})<\epsilon }$. Tässä ${\displaystyle E^{C}}$ on E:n komplementti. Huomaa, että E perii välin ${\displaystyle [a,b]}$ topologian ja tässä topologiassa f:n jatkuvuus rajoittuu joukkoon E.

Lusinin lause todistetaan seuraavasti: Jatkuvat funktiot ovat tiheässä ${\displaystyle L^{1}[a,b]}$:ssä. Siten on siis olemassa jono jatkuvia funktioita ${\displaystyle \{g_{n}\}}$ siten, että ${\displaystyle \{g_{n}\}\rightarrow f}$ ${\displaystyle L^{1}}$:ssä. Tästä jonosta voidaan erottaa osajono, jota merkitään myös ${\displaystyle \{g_{n}\}}$:llä, siten, että ${\displaystyle g_{n}\rightarrow f}$ melkein kaikkialla. Nyt Egorovin lauseen mukaan ${\displaystyle g_{n}\rightarrow f}$ tasaisesti lukuun ottamatta mielivaltaisen pientä joukkoa. Koska jatkuvat funktiot ovat suljettuja tasaisen suppenemisen suhteen, on väite todistettu.