Normaali matriisi

Normaali matriisi on sellainen kompleksinen neliömatriisi ${\displaystyle A}$, että sen hermitoidulle matriisille ${\displaystyle A^{*}}$ pätee

${\displaystyle A^{*}A=AA^{*}\,}$

Selvästi kaikki unitaariset ja itseadjungoidut matriisit ovat normaaleja. Lisäksi voidaan osoittaa, että

• Matriisi ${\displaystyle A}$ on normaali jos ja vain jos se on unitaarisesti diagonalisoituva

eli on olemassa jokin sellainen unitaarimatriisi ${\displaystyle U}$ ja diagonaalimatriisi ${\displaystyle D}$, että ${\displaystyle A=UDU^{*}}$. Lisäksi

• Matriisi ${\displaystyle A}$ on normaali jos ja vain jos sen ominaisvektoreista voidaan valita vektoriavaruuden ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ortonormaali kanta.

Normaali matriisi voidaan myös aina lausua muodossa ${\displaystyle A=UM=MU\,}$, missä ${\displaystyle U}$ on unitaarinen ja ${\displaystyle M}$ on itseadjungoitu matriisi.

Kirjallisuutta

• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.