Normaalijakauma

Normaalijakauma

Tiheysfunktio Punainen kuvaaja on standardoitu normaalijakauma
Kertymäfunktio
Merkintä	${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\,\sigma ^{2})}$
Parametrit	μ ∈ R — keskiarvo (sijainti) σ2 > 0 — varianssi (neliöity skaala)
Määrittelyjoukko	x ∈ R
Tiheysfunktio	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\operatorname {exp} \left\{-{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right\}}$
Kertymäfunktio	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sqrt {2\sigma ^{2}}}}\right)\right]}$
Odotusarvo	μ
Mediaani	μ
Moodi	μ
Varianssi	${\displaystyle \sigma ^{2}\,}$
Vinous	0
Huipukkuus	0
Entropia	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\ln(2\pi e\,\sigma ^{2})}$
Momentit generoiva funktio	${\displaystyle \exp\{\mu t+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}\}}$
Karakteristinen funktio	${\displaystyle \exp\{i\mu t-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}\}}$
Fisherin informaatiomatriisi	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1/\sigma ^{2}&0\\0&1/(2\sigma ^{4})\end{pmatrix}}}$

Normaalijakauma (toisilta nimiltään Gaussin jakauma tai Gaussin kellokäyrä) on jatkuva todennäköisyysjakauma. Nimitys kellokäyrä tulee siitä, että tiheysfunktion kuvaaja muistuttaa kirkonkellon sivukuvaa. Luonnontieteissä normaalijakaumalle on paljon käytännöllisiä tulkintoja.

Normaalijakauma on määritelty ja jatkuva kaikilla muuttujan reaaliarvoilla. Jos satunnaismuuttuja ${\displaystyle X}$ on normaalijakautunut, niin merkitään

${\displaystyle X\sim \operatorname {N} (\mu ,\sigma ^{2}).}$

Parametri ${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$ on jakauman odotusarvo ja ${\displaystyle \sigma ^{2}>0}$ on jakauman varianssi. Jakauman sijainti riippuu keskiarvoparametrista ja leveys varianssiparametrista. Jakauman tiheysfunktio on

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}.}$

Normaalijakauman kertymäfunktio on integraali

${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-t^{2}/2}\,dt,}$

jota ei voida ratkaista analyyttisesti alkeisfunktioiden avulla. Kertymäfunktion arvoja voidaan kuitenkin laskea numeerisilla menetelmillä.

Standardoitu normaalijakauma eli standardinormaalijakauma on yleisen normaalijakauman erikoistapaus ${\displaystyle \operatorname {N} (0,1)}$. Standardoidussa normaalijakaumassa jakauman odotusarvo on 0 ja varianssi 1. Useimmissa matematiikan taulukkokirjoissa on taulukoituna standardinormaalijakauman kertymäfunktion arvoja positiivisissa pisteissä. Normaalijakauman kertymäfunktion arvojen laskeminen numeerisesti on tarkempaa, mikäli jakauma on standardinormaalijakauma.^[1]

Standardinormaalijakauman tapauksessa kertymäfunktio ${\displaystyle \phi (x)}$ voidaan esittää myös siihen läheisesti liittyvän virhefunktion ${\displaystyle \operatorname {erf} (x)}$ avulla seuraavasti:

${\displaystyle \phi (x)={\frac {\mathrm {erf} (x)+1}{2}}.}$

Keskeisen raja-arvolauseen perusteella normaalijakaumalla on yhteys muihinkin jakaumiin. Tiettyjen lievien oletusten ollessa voimassa ja poimimalla riippumattomasti samasta jakaumasta suuri määrä satunnaismuuttujan arvoja, saadaan tulokseksi normaalijakauma riippumatta alkuperäisen jakauman muodosta.

Normaalijakaumaa koskevia lauseita

Jos ${\displaystyle X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})}$, niin ${\displaystyle {\frac {X-\mu }{\sigma }}\sim N(0,1)}$.

Jos ${\displaystyle X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})}$ ja ${\displaystyle a}$ ja ${\displaystyle b}$ ovat vakioita, niin ${\displaystyle a+bX\sim N(a+b\mu ,b^{2}\sigma ^{2})}$.

Jos ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{k}}$ ovat riippumattomia satunnaismuuttujia ja ${\displaystyle X_{i}\sim N(\mu _{i},\sigma _{i}^{2}),i=1,2,\ldots ,k}$, niin ${\displaystyle X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{k}\sim N(\mu _{1}+\mu _{2}+\ldots +\mu _{k},\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}+\ldots +\sigma _{k}^{2})}$.

Jos ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{k}}$ ovat riippumattomia satunnaismuuttujia ja ${\displaystyle X_{i}\sim N(\mu ,\sigma ^{2}),i=1,2,\ldots ,k}$, niin satunnaismuuttujien keskiarvo noudattaa jakaumaa ${\displaystyle {\frac {X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{k}}{k}}\sim N\left(\mu ,{\frac {\sigma ^{2}}{k}}\right)}$.

Normaalijakauman laskeminen tietokoneella

Esimerkiksi Sagella voi laskea normaalijakauman N(0,1) likiarvon ${\displaystyle \Phi (1)}$ seuraavasti:

sage: N(integrate(1/sqrt(2*pi)*exp(-x^2/2),x,-infinity,1))
0.841344746068543

Vastaavasti numeerisesti voidaan laskea, milloin vaikkapa ${\displaystyle \Phi (x)=0{,}95}$:

sage: import scipy.stats as st
sage: st.norm.ppf(0.95,0,1)
1.6448536269514722

Lähteet

Aiheesta muualla

Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Normaalijakauma.

• Mathworld. Normal Distribution (englanniksi)
• Table of the Standard Normal Distribution (Arkistoitu – Internet Archive) Standardinormaalijakauman kertymäfunktion arvoja (englanniksi)
• The Myth of the Bell Curve. Kritiikkiä normaalijakauman käytöstä yhteiskuntatieteissä. (englanniksi)
• Online laskin Normaalijakauma
• Interaktiivinen Normaalijakauma, Java/Geogebra