Suppenemistestit

Suppenemistestit ovat ehtoja, joiden avulla voidaan osoittaa sarjan suppeneminen tai hajaantuminen.

Suppenemistestejä

Majorantti- ja minoranttiperiaate

Olkoon ${\displaystyle 0\leq x_{k}\leq y_{k}}$ kaikilla ${\displaystyle k\in }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$. Tällöin

• Jos sarja ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }y_{k}}$ suppenee, niin sarja ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }x_{k}}$ suppenee (majoranttiperiaate).
• Jos sarja ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }x_{k}}$ hajaantuu, niin sarja ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }y_{k}}$ hajaantuu (minoranttiperiaate).

Vertailutesti

Oletetaan, että ${\displaystyle x_{k}>0}$ ja ${\displaystyle y_{k}>0}$ kaikilla ${\displaystyle k\in }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$, ja että raja-arvo ${\displaystyle L:=\lim _{k\to \infty }{\frac {x_{k}}{y_{k}}}}$ on olemassa. Tällöin

• Jos ${\displaystyle L\in ]0,\infty [}$, niin sarja ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }x_{k}}$ suppenee, jos ja vain jos ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }y_{k}}$ suppenee.
• Jos ${\displaystyle L=0}$ ja sarja ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }y_{k}}$ suppenee, niin myös ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }x_{k}}$ suppenee.
• Jos ${\displaystyle L=\infty }$ ja sarja ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }y_{k}}$ hajaantuu, niin myös ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }x_{k}}$ hajaantuu.

Juuritesti

Olkoon ${\displaystyle x_{k}\geq 0}$ kaikilla ${\displaystyle k\in }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$.

• Jos on olemassa ${\displaystyle k_{0}}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ja vakio ${\displaystyle q<1}$ siten, että ${\displaystyle {\sqrt[{k}]{x_{k}}}\leq q}$ kaikilla ${\displaystyle k\geq k_{0}}$, niin sarja ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }x_{k}}$ suppenee.

• Jos on olemassa ${\displaystyle k_{0}}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ja vakio ${\displaystyle q>1}$ siten, että ${\displaystyle {\sqrt[{k}]{x_{k}}}\geq q}$ kaikilla ${\displaystyle k\geq k_{0}}$, niin sarja ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }x_{k}}$ hajaantuu.

• Jos raja-arvo ${\displaystyle L:=\lim _{k\to \infty }{\sqrt[{k}]{x_{k}}}}$ on olemassa, niin sarja ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }x_{k}}$
  • suppenee, jos ${\displaystyle L<1}$
  • hajaantuu, jos ${\displaystyle L>1}$.

Osamäärätesti

Olkoon ${\displaystyle x_{k}\neq 0}$ kaikilla ${\displaystyle k\in }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$.

• Jos on olemassa ${\displaystyle k_{0}}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ja vakio ${\displaystyle q<1}$ siten, että ${\displaystyle \left|{\frac {x_{k+1}}{x_{k}}}\right|\leq q}$ kaikilla ${\displaystyle k\geq k_{0}}$, niin sarja ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }x_{k}}$ suppenee.
• Jos on olemassa ${\displaystyle k_{0}}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ja vakio ${\displaystyle q>1}$ siten, että ${\displaystyle \left|{\frac {x_{k+1}}{x_{k}}}\right|\geq q}$ kaikilla ${\displaystyle k\geq k_{0}}$, niin sarja ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }x_{k}}$ hajaantuu.
• Jos raja-arvo ${\displaystyle L:=\lim _{k\to \infty }\left|{\frac {x_{k+1}}{x_{k}}}\right|}$ on olemassa, niin sarja ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }x_{k}}$
  • suppenee, jos ${\displaystyle L<1}$
  • hajaantuu, jos ${\displaystyle L>1}$.

Integraalitesti

Olkoon ${\displaystyle f:[1,\infty [\longrightarrow [0,\infty [}$ vähenevä funktio, joka on integroituva jokaisella välillä ${\displaystyle [1,a],a>1}$. Merkitään ${\displaystyle x_{k}=f(k)}$ kaikilla ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$.

Tällöin sarja ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }x_{n}}$ suppenee, jos ja vain jos epäoleellinen integraali ${\displaystyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,dx}$ suppenee.

Esimerkkejä

• ${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k+1}{k(k+2)}}}$ hajaantuu, koska ${\displaystyle {\frac {k+1}{k(k+2)}}:{\frac {1}{k}}={\frac {k+1}{k+2}}\longrightarrow 1}$, kun ${\displaystyle k\longrightarrow \infty }$, ja ${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}}$ hajaantuu (vertailutesti).

• ${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{k}}\right)^{k}}$ suppenee, koska ${\displaystyle {\sqrt[{k}]{\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{k}}\right)^{k}}}}$ ${\displaystyle ={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{k}}\longrightarrow {\frac {1}{2}}}$ kun ${\displaystyle k\longrightarrow \infty }$ (juuritestin raja-arvomuoto).

Lähteet

• Jussi Väisälä, Hannu Honkasalo, Lauri Myrberg, Jouni Kankaanpää: Differentiaali- ja integraalilaskenta 1.2
• Lauri Myrberg: Differentiaali- ja integraalilaskenta korkeakouluja varten, osa 2, 1.-2. painos, 1978
• Courant, Richard & John, Fritz: Introduction to Calculus and Analysis I, s. 520-522. Springer-Verlag, 1965. ISBN 3-540-65058-X.