Tavallinen differentiaaliyhtälö

Tavallinen differentiaaliyhtälö on differentiaaliyhtälö, jossa on ainoastaan yksi muuttuja.

Määritelmä

Olkoon F muuttujan x funktio ja olkoon y=y(x) yhden muuttujan funktio. Tällöin yhtälöä

F\left(x,y(x),y'(x),\ldots ,y^{(n-1)}(x)\right)=y^{(n)}(x)

kutsutaan tavalliseksi differentiaaliyhtälöksi, jonka kertaluku on n.^[1]

Eräiden yhtälöiden ratkaisuja

Separoituvat yhtälöt

Yhtälö	Ratkaisutapa	Ratkaisu
Ensimmäinen kertaluku, x ja y separoituvia^[2] ${\begin{aligned}P_{1}(x)Q_{1}(y)+P_{2}(x)Q_{2}(y)\,{\frac {dy}{dx}}&=0\\P_{1}(x)Q_{1}(y)\,dx+P_{2}(x)Q_{2}(y)\,dy&=0\end{aligned}}$	Separointi (jakaminen tulolla P₂Q₁).	$\int ^{x}{\frac {P_{1}(\lambda )}{P_{2}(\lambda )}}\,d\lambda +\int ^{y}{\frac {Q_{2}(\lambda )}{Q_{1}(\lambda )}}\,d\lambda =C$
Ensimmäinen kertaluku, x separoituva^[3] ${\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&=F(x)\\dy&=F(x)\,dx\end{aligned}}$	Integrointi.	$y=\int ^{x}F(\lambda )\,d\lambda +C$
Ensimmäinen kertaluku, y separoituva^[3] ${\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&=F(y)\\dy&=F(y)\,dx\end{aligned}}$	Separointi (jakaminen F:llä).	$x=\int ^{y}{\frac {d\lambda }{F(\lambda )}}+C$
Ensimmäinen kertaluku, x ja y separoituvia^[3] ${\begin{aligned}P(y){\frac {dy}{dx}}+Q(x)&=0\\P(y)\,dy+Q(x)\,dx&=0\end{aligned}}$	Integrointi.	$\int ^{y}P(\lambda )\,d\lambda +\int ^{x}Q(\lambda )\,d\lambda =C$

Ensimmäisen kertaluvun yhtälöt

Yhtälö	Ratkaisutapa	Ratkaisu
Ensimmäinen kertaluku, homogeeninen^[3] ${\frac {dy}{dx}}=F\left({\frac {y}{x}}\right)$	Sijoita y = ux ja separoi u ja x.	$\ln(Cx)=\int ^{y/x}{\frac {d\lambda }{F(\lambda )-\lambda }}$
Ensimmäinen kertaluku, separoituva^[2] ${\begin{aligned}yM(xy)+xN(xy)\,{\frac {dy}{dx}}&=0\\yM(xy)\,dx+xN(xy)\,dy&=0\end{aligned}}$	Separointi (jakaminen xy:llä).	$\ln(Cx)=\int ^{xy}{\frac {N(\lambda )\,d\lambda }{\lambda [N(\lambda )-M(\lambda )]}}$ Jos N = M, ratkaisu on xy = C.
Eksakti, ensimmäinen kertaluku^[3] ${\begin{aligned}M(x,y){\frac {dy}{dx}}+N(x,y)&=0\\M(x,y)\,dy+N(x,y)\,dx&=0\end{aligned}}$ jossa ${\frac {\partial M}{\partial y}}={\frac {\partial N}{\partial x}}$	Integrointi.	${\begin{aligned}F(x,y)&=\int ^{x}M(\lambda ,y)\,d\lambda +\int ^{y}Y(\lambda )\,d\lambda \\&=\int ^{y}N(x,\lambda )\,d\lambda +\int ^{x}X(\lambda )\,d\lambda =C\end{aligned}}$ jossa $Y(y)=N(x,y)-{\frac {\partial }{\partial y}}\int ^{x}M(\lambda ,y)\,d\lambda$ ja $X(x)=M(x,y)-{\frac {\partial }{\partial x}}\int ^{y}N(x,\lambda )\,d\lambda$
Epäeksakti, ensimmäinen kertaluku^[3] ${\begin{aligned}M(x,y){\frac {dy}{dx}}+N(x,y)&=0\\M(x,y)\,dy+N(x,y)\,dx&=0\end{aligned}}$ jossa ${\frac {\partial M}{\partial x}}\neq {\frac {\partial N}{\partial y}}$	Kerroin μ(x, y), jolle ${\frac {\partial (\mu M)}{\partial y}}={\frac {\partial (\mu N)}{\partial x}}$	Sopivalle μ(x, y) ${\begin{aligned}F(x,y)=&\int ^{x}\mu (\lambda ,y)M(\lambda ,y)\,d\lambda +\int ^{y}Y(\lambda )\,d\lambda \\=&\int ^{y}\mu (x,\lambda )N(x,\lambda )\,d\lambda +\int ^{x}X(\lambda )\,d\lambda =C\end{aligned}}$ jossa $Y(y)=N(x,y)-{\frac {\partial }{\partial y}}\int ^{x}\mu (\lambda ,y)M(\lambda ,y)\,d\lambda$ ja $X(x)=M(x,y)-{\frac {\partial }{\partial x}}\int ^{y}\mu (x,\lambda )N(x,\lambda )\,d\lambda$

Toisen kertaluvun yhtälöt

Yhtälö	Ratkaisutapa	Ratkaisu
Toinen kertaluku^[4] ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=F(y)$	Kerro $2{\frac {dy}{dx}}$ :llä, sijoita $2{\frac {dy}{dx}}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}$ ja integroi kahdesti.	$x=\pm \int ^{y}{\frac {d\lambda }{\sqrt {2\int ^{\lambda }F(\varepsilon )\,d\varepsilon +C_{1}}}}+C_{2}$

Lineaariset n:nnen kertaluvun yhtälöt

Yhtälö	Ratkaisutapa	Ratkaisu
Ensimmäinen kertaluku, lineaarinen, epähomogeeninen, kertoimet:^[3] ${\frac {dy}{dx}}+P(x)y=Q(x)$	Kerroin: $e^{\int ^{x}P(\lambda )\,d\lambda }.$	$y=e^{-\int ^{x}P(\lambda )\,d\lambda }\left[\int ^{x}e^{\int ^{\lambda }P(\varepsilon )\,d\varepsilon }Q(\lambda )\,d\lambda +C\right]$
Toinen kertaluku, lineaarinen, epähomogeeninen, kertoimet: ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2p(x){\frac {dy}{dx}}+\left(p(x)^{2}+p'(x)\right)y=q(x)$	Kerroin: $e^{\int ^{x}P(\lambda )\,d\lambda }$	$y=e^{-\int ^{x}P(\lambda )\,d\lambda }\left[\int ^{x}\left(\int ^{\xi }e^{\int ^{\lambda }P(\varepsilon )\,d\varepsilon }Q(\lambda )\,d\lambda \right)d\xi +C_{1}x+C_{2}\right]$
Toinen kertaluku, lineaarinen, epähomogeeninen, vakiokertoimet^[5] ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+b{\frac {dy}{dx}}+cy=r(x)$		$y=y_{c}+y_{p}$ Jos $b_{2}>4c$ : $y_{c}=C_{1}e^{-{\frac {x}{2}}\,\left(b+{\sqrt {b^{2}-4c}}\right)}+C_{2}e^{-{\frac {x}{2}}\,\left(b-{\sqrt {b^{2}-4c}}\right)}$ Jos $b_{2}=4c$ : $y_{c}=(C_{1}x+C_{2})e^{-{\frac {bx}{2}}}$ Jos $b_{2}<4c$ : $y_{c}=e^{-{\frac {bx}{2}}}\left[C_{1}\sin \left(x\,{\frac {\sqrt {4c-b^{2}}}{2}}\right)+C_{2}\cos \left(x\,{\frac {\sqrt {4c-b^{2}}}{2}}\right)\right]$
Kertaluku n, lineaarinen, epähomogeeninen, vakiokertoimet^[5] $\sum _{j=0}^{n}b_{j}{\frac {d^{j}y}{dx^{j}}}=r(x)$		$y=y_{c}+y_{p}$ $y_{c}=\sum _{j=1}^{n}\left(\sum _{\ell =1}^{k_{j}}C_{j,\ell }x^{\ell -1}\right)e^{\alpha _{j}x}$ jossa $C_{j}e^{\alpha _{j}x}=C_{j}e^{\chi _{j}x}\cos(\gamma _{j}x+\varphi _{j})$

Lähteet

↑ Gyllenberg, Mats; Lamberg, Lasse; Ola, Petri; Piiroinen, Petteri; Häsä, Jokke: Tavalliset differentiaaliyhtälöt. Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto, 2016.
↑ ^a ^b Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition), S. Lipschutz, M. R. Spiegel, J. Liu, Schaum's Outline Series, 2009, ISC_2N 978-0-07-154855-7
↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (4th Edition), W.E. Boyce, R.C. Diprima, Wiley International, John Wiley & Sons, 1986, ISBN: 0-471-83824-1
↑ Further Elementary Analysis, R. Porter, G.Bell & Sons (London), 1978, ISBN: 0-7135-1594-5
↑ ^a ^b Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, ISC_2N 978-0-521-86153-3