Ulamin spiraali

Ulamin spiraali (toisinaan alkulukuspiraali) on matemaattinen kuvio, jonka löysi puolalaismatemaatikko Stanisław Marcin Ulam vuonna 1963. Ulamin spiraali kiertyy neliön ympärille alkulukujen muodostaessa vinoviivoja ja niiden taipumuksesta pakkautua tietyille viivoille. Tarpeeksi kaukana keskustasta myös vaaka- ja pystyviivat ovat näkyvissä. Ulamin spiraalista on tehty erilaisia variaatioita, kuten Sacksin spiraali.

Spiraalin kehitys

Spiraalin keskustassa on luku 1, jonka ympärille positiiviset luonnolliset luvut kiertyvät järjestyksessä:

Kun spiraalin alkuluvut jätetään paikalleen ja poistetaan muut luvut, huomataan että alkuluvut muodostavat vinoja suoria:

Alkuluvut ovat numeroa 2 lukuun ottamatta parittomia, joten alkulukujen muodostamat suorat eivät ole yllätys, vuorottelevathan jaolliset ja jaottomat luvut Ulamin spiraalissa. Yllättävää sen sijaan on alkulukujen taipumus pakkautua joillekin suorille enemmän kuin toisille.

On huomattu, että alkuluvut muodostavat vinoviivoja silloinkin, kun keskustassa oleva luku ei ole 1. Tämä viittaa siihen, että kokonaislukujen vakioita a ja b on suuri määrä. Yhtälö

${\displaystyle 4n^{2}+bn+c\,\!}$

antaakin odottamattoman paljon alkulukuja sitä mukaa, kun n kasvaa.^[1][2]

Sacksin spiraali

Insinööri Robert Sacks teki Ulamin spiraalista variaation, joka eroaa Ulamin spiraalista kolmella tapaa:

1. Spiraalin keskustassa on 1:n sijaan nolla,
   
2. Sacksin kuvio perustuu Arkhimedeen spiraaliin, ei neliöön, ja
   
3. Täydelliset neliöjuuret (= luvun x neliö on positiivinen kokonaisluku, siis 1, 4, 9, 16, 25 jne.) muodostavat spiraalin oikealle puolelle suoran rivin.
   

Mikäli spiraalia jatkaa pidemmälle (esimerkiksi kymmeniin tuhansiin) ja merkitsee alkuluvut muita lukuja tummemmalla, kaukaa katsottua huomaa, että alkuluvuilla on taipumus kasautua muodostaen kaaret, joiden päät jatkavat spiraalin ulkopuolelle ylä- ja alavasemmalle, kuten viereisessä kuvassa. Esimerkiksi yksi näistä kaarista sisältää alkuluvut polynomista x² + n + 41, Leonhard Eulerin kehittämä kuuluisa, alkulukurikas polynomi.^[3][4]

Lähteet

Aiheesta muualla

Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Ulamin spiraali.

• Ulamin spiraalin epävirallinen kotisivu (englanniksi)
• Ulamin spiraali MathWorldissa (Arkistoitu – Internet Archive) (englanniksi)
• Robert Sacks - Ulamin spiraalin variaatio (englanniksi)
• Richard Buckminster Fuller - Ulamin spiraalin variaationa kolmio (englanniksi)
• Ulamin spiraalin kehitys YouTube-animaationa