Vektorikimppu

Vektorikimppu on matemaattinen konstruktio, jossa jonkin avaruuden, nk. pohja-avaruuden, pisteisiin liitetään vektoriavaruus. Näiden vektoriavaruuksien oletetaan liittyvän yhteen "jatkuvasti", ts. tarvitaan topologian käsitteistö.

Helpoin esimerkki vektorikimpusta on niin sanottu triviaali vektorikimppu. Olkoon ${\displaystyle X}$ topologinen avaruus ja ${\displaystyle n}$ mielivaltainen kokonaisluku. Tällöin voi jokaiseen ${\displaystyle X}$:n pisteeseen liittää "sama" vektoriavaruus ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Toisin sanoen saadaan aikaan avaruus ${\displaystyle X\times \mathbb {R} ^{n}}$. Yleisessä vektorikimpussa tosin vektoriavaruus voi kaareutua. Tästä esimerkkinä on Möbiuksen nauha, jossa pohja-avaruus on yksikköympyrä ${\displaystyle S^{1}}$, ja vektoriavaruus on reaalilukujen joukko ${\displaystyle \mathbb {R} }$, joka "käännetään ympäri".

Määritelmä

Olkoon ${\displaystyle X,E}$ topologisia avaruuksia, ja olkoon ${\displaystyle \pi :E\to X}$ jatkuva kuvaus. Tällöin pari ${\displaystyle (E,\pi )}$ on topologinen vektorikimppu, jos nämä toteuttavat seuraavat ominaisuudet ^[1].

• Lokaali triviaalisuus: On olemassa avoin peite ${\displaystyle \{U_{i}\}}$, joille ${\displaystyle \pi ^{-1}(U_{i})\simeq U_{i}\times \mathbb {R} ^{n}}$ ja ${\displaystyle \pi ^{-1}(x)=\mathbb {R} ^{n}}$ kaikille ${\displaystyle x\in X}$. Eli on olemassa homeomorfismi ${\displaystyle \phi _{i}:\pi ^{-1}(U_{i})\to U_{i}\times \mathbb {R} ^{n}}$.

• Yhteensopivuus: Translaatiokuvaukset ${\displaystyle \psi _{ij}=\phi _{i}\circ \phi _{j}^{-1}:(U_{j}\cap U_{i})\times \mathbb {R} ^{n}\to (U_{j}\cap U_{i})\mathbb {R} ^{n}}$ ovat homeomorfismeja ja lineaarisia ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ koordinaatissa. Eli translaatiokuvaukset ovat säiekuvauksia (bundle map).

Avaruus ${\displaystyle X}$ on pohja-avaruus, ja ${\displaystyle E}$ on nk. totaaliavaruus. Kuvaus ${\displaystyle \pi }$ on projektio, ja on esimerkki topologisesta submersiosta. Kokonaisluku ${\displaystyle n}$ on vektorikimpun ulottuvuus.

Samalla lailla voidaan määritellä sileät vektorikimput, jos pohja- ja totaaliavaruus oletetaan sileiksi monistoiksi. Tällöin oletetaan, että kuvaukset yllä ovat kaikki sileitä. Yleisimmin geometriassa tarkastellaan juuri vektorikimppuja monistoilla.

Säiekuvaukset

Olkoot ${\displaystyle (E,\pi _{E}),(F,\pi _{F})}$ topologisia vektorikimppuja, joiden pohja-avaruudet ovat ${\displaystyle X,Y}$ja ulottuvuudet ${\displaystyle n,m}$, vastaavasti. Sanomme, että jatkuva kuvaus ${\displaystyle f:E\to F}$ on säiekuvaus, jos seuraavat kaksi ominaisuutta pätevät:

• Kommutointi: On olemassa kuvaus ${\displaystyle g:X\to Y}$, jolle ${\displaystyle g\circ \pi _{E}=\pi _{F}\circ f}$.

• Kuvaus on lineaarinen. Tässä kaikilla, ${\displaystyle x\in X}$, pätee, että ${\displaystyle f:\pi _{E}^{-1}(x)\simeq \mathbb {R} ^{n}\to \pi _{F}^{-1}(g(x))\simeq \mathbb {R} ^{m}}$.

Jos kyseessä on sileä vektorikimppu, niin samalla lailla määrittelemme sileät säiekuvaukset. Jos kuvaus ${\displaystyle f}$ on homeomorfismi, tai diffeomorfismi, niin sen käänteiskuvaus on myös säiekuvaus ja tällöin vektorikimput ovat isomorfisia.

Sektiot

Sektiot yleistävät vektorikenttiä. Vektorikentät liittävät moniston pisteisiin sen tangenttiavaruuden vektorin, joka euklidisen avaruuden ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ tapauksessa voidaan samaistaa avaruuden ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ kanssa. Yleisesti ottaen sektio ${\displaystyle \sigma :X\to E}$ on jatkuva kuvaus, joka liittää jokaiseen pisteeseen ${\displaystyle x\in X}$ vektorin, joka kuuluu joukkoon ${\displaystyle \pi ^{-1}(x)}$, eli

${\displaystyle \pi \circ \sigma ={\text{Id}},}$

missä ${\displaystyle {\text{Id}}}$ on identiteettikuvaus. Edelleen voimme määritellä sileät sektiot. Esimerkkinä olkoot nolla-sektio, jossa ${\displaystyle \sigma (x)=0\in \mathbb {R} ^{n}\simeq \pi ^{-1}(x)\subset E}$.

Lähteet