Wallisin kaavat ovat menetelmiä, joilla voidaan laskea piin likiarvoja mielivaltaisen tarkasti. Kaavat on johtanut englantilainen matemaatikko John Wallis[1]. Wallisin kaavojen mukaan:
- (1)
![{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot \ldots \cdot {\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)={\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aeb4df8c2c76667a4eabc184f1945b1316a94cb9)
- (2)
.
Kaavojen todistus
Wallisin kaavat pystytään todistamaan osittaisintegroinnin avulla.
Merkitään jokaiselle
![{\displaystyle I_{n}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,{\text{d}}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad2b0faf6240ead5e5c14363c5e622110c839796)
![{\displaystyle a_{n}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot \ldots \cdot {\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30ecbd59eb916a58784c28b8f3f0abb02a154bc1)
![{\displaystyle b_{n}={\frac {(n!)^{2}\cdot 2^{2n}}{(2n!){\sqrt {n}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb406048624941827f211db147351aaba5b84df8)
Tällöin
ja ![{\displaystyle I_{1}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aea1b8662c4100c5a0c56ac5a05e2dcd02416c85)
Jos
, niin osittaisintegroimalla nähdään, että
![{\displaystyle =(n-1)\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{2}x\sin ^{n-2}x\,{\text{d}}x=(n-1)\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}(1-\sin ^{2}x)\sin ^{n-2}x\,{\text{d}}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcb1c6618b2632a2b4abc220536ae8269932732d)
![{\displaystyle =(n-1)(I_{n-2}-I_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30a91ecacca40aa46d4d7d91000d2750e3b532e6)
Siispä saadaan rekursiivinen kaava
:lle:
![{\displaystyle I_{n}={\frac {n-1}{n}}\cdot I_{n-2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcaff7f89d6c3bf077fd4ede797f34cf871ce8a2)
Tämän avulla nähdään, että
![{\displaystyle I_{2n}={\frac {2n-1}{2n}}\cdot I_{2n-2}={\frac {2n-1}{2n}}\cdot {\frac {2n-3}{2n-2}}\cdot I_{2n-4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/987a8e65e2935502a1e677d81a016a73f8fd290c)
ja
![{\displaystyle I_{2n+1}={\frac {2n}{2n+1}}\cdot I_{2n-1}={\frac {2n}{2n+1}}\cdot {\frac {2n-2}{2n-1}}\cdot I_{2n-3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c7e2c099edd25621fbe8891c5c701627e1a3282)
![{\displaystyle =\ldots ={\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot \ldots \cdot {\frac {2n-2}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\cdot I_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d0e6e072362f1daa453a5bae2d595afdeb1f642)
Näin ollen
, eli
![{\displaystyle a_{n}={\frac {I_{2n+1}}{I_{2n}}}\cdot {\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4e2da97f6b9eb3219643aa09dc0467c274b776f)
Koska
kaikilla
, niin
. Siten
, kun
. Siis
, eli väite (1) on todistettu. ![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
Koska
ja
, niin induktiotodistuksella nähdään helposti, että
kaikilla n. Siten väite (2) seuraa väitteestä (1). ![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
Katso myös
- Luettelo piin laskukaavoista
Lähteet
- ↑ Lehtinen, Matti: Osittaisintegroinnin ihmeitä: Wallisin ja Stirlingin kaavat [1]