Yksikkömatriisi

Yksikkömatriisi eli identiteettimatriisi on diagonaalimatriisi, jonka päälävistäjän alkiot ovat ykkösiä ja muut nollia.

Yksikkömatriisin merkitseminen

Identiteettimatriisi toimii neliömatriisien renkaan ykkösalkiona. n×n -identiteettimatriisia merkitään ${\displaystyle I_{n}}$ tai vain ${\displaystyle I}$, jos n:n arvosta ei ole epäselvyyttä. Matriisirenkaiden ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1},{\mathcal {M}}_{2},\ldots ,{\mathcal {M}}_{n}}$ identiteettimatriisit ovat

${\displaystyle I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \cdots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}}$

Yksikkömatriisi voidaan kirjoittaa myös diagonaalimuodossa

${\displaystyle I={\textrm {diag}}(1,1,\ldots ,1)}$

tai Kroneckerin deltan avulla^[1]

${\displaystyle I=\delta _{ij}\,}$.

Yksikkömatriisin ominaisuuksia

Matriisien A ja B kanssa identiteettimatriisille on voimassa

${\displaystyle AI=A\,}$

ja

${\displaystyle IB=B\,}$

lisäksi käänteismatriisin määritelmän mukaan

${\displaystyle AA^{-1}=A^{-1}A=I\,}$,

jos A on säännöllinen. Identiteettimatriisin determinantti on 1. Identiteettimatriisi on selvästi ortogonaalinen. Identiteettimatriisin i:s sarake on yksikkövektori e_i. Nämä yksikkövektorit ovat identiteettimatriisin ominaisvektorit. Niitä vastaava ainoa ominaisarvo on 1, jonka kertaluku n×n -identiteettimatriisilla on n. Myös n×n -identiteettimatriisin jälki on n. Identiteettimatriisi on yksi binäärimatriiseista.

Katso myös

• Ykkösmatriisi

Lähteet

Aiheesta muualla

• Yksikkömatriisi PlanetMathissa (englanniksi)