Équation caractéristique d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants

En mathématiques, l’équation caractéristique d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants (ou équation auxiliaire de celle-ci^[1]) est une équation polynomiale dont dépend la solution^[2] de l'équation différentielle, linéaire, homogène, et à coefficients constants associée^[1].

Une telle équation différentielle d'ordre n, avec ${\displaystyle y}$ comme variable dépendante et ${\displaystyle a_{n},a_{n-1},\ldots ,a_{1},a_{0}}$ comme constantes,

${\displaystyle a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y'+a_{0}y=0}$

aura une équation caractéristique de degré n de la forme

${\displaystyle a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_{0}=0}$

dont les racines ${\displaystyle r}$ permettront de former la solution générale de l'équation différentielle^[1],[3],[4].

Leonhard Euler a introduit l'équation caractéristique pour intégrer les équations différentielles linéaires à coefficients constants, étude prolongée par Augustin-Louis Cauchy et Gaspard Monge^[2],[4].

Principe

On considère l'équation différentielle linéaire homogène à coefficients constants ${\displaystyle a_{n},a_{n-1},\ldots ,a_{1},a_{0}}$,

${\displaystyle a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y'+a_{0}y=0.}$

on peut voir que si ${\displaystyle y(x)=e^{rx}}$, chaque terme sera un multiple de ${\displaystyle e^{rx}}$ par une constante. Cela résulte du fait que la dérivée de la fonction exponentielle ${\displaystyle e^{rx}}$ est un multiple d'elle-même. Par conséquent, ${\displaystyle y'=re^{rx}}$, ${\displaystyle y''=r^{2}e^{rx}}$ et ${\displaystyle y^{(n)}=r^{n}e^{rx}}$ sont toutes multiples de ${\displaystyle e^{rx}}$. On peut en déduire que certaines valeurs de ${\displaystyle r}$, permettront à des multiples de ${\displaystyle e^{rx}}$ d'avoir une somme égale à zéro et de résoudre ainsi l'équation différentielle homogène^[3]. Pour trouver les valeurs de ${\displaystyle r}$, on peut remplacer ${\displaystyle y}$ et ses dérivées par ${\displaystyle e^{rx}}$ et ses dérivées dans l'équation différentielle pour obtenir :

${\displaystyle a_{n}r^{n}e^{rx}+a_{n-1}r^{n-1}e^{rx}+\cdots +a_{1}re^{rx}+a_{0}e^{rx}=0.}$

Puisque ${\displaystyle e^{rx}}$ ne peut jamais être nul, on peut simplifier l'équation pour obtenir l'équation caractéristique

${\displaystyle a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_{0}=0.}$

En trouvant les racines ${\displaystyle r}$ de cette équation caractéristique, on pourra trouver la solution générale de l'équation différentielle^[1],[4].

Formation de la solution générale

Résoudre l'équation caractéristique pour trouver ses racines, ${\displaystyle r_{1},\ldots ,r_{n}}$, permet de trouver la solution générale de l'équation différentielle. Les racines peuvent être réelles et/ou complexes, simples et/ou multiples. Si une équation caractéristique a pour solutions des racines réelles simples, ${\displaystyle h}$ racines réelles multiples et/ou ${\displaystyle k}$ racines complexes, correspondant respectivement aux solutions générales ${\displaystyle y_{D}(x)}$, ${\displaystyle y_{R_{1}}(x),\ldots ,y_{R_{h}}(x)}$, et ${\displaystyle y_{C_{1}}(x),\ldots ,y_{C_{k}}(x)}$, alors la solution générale de l'équation différentielle est

${\displaystyle y(x)=y_{D}(x)+y_{R_{1}}(x)+\cdots +y_{R_{h}}(x)+y_{C_{1}}(x)+\cdots +y_{C_{k}}(x).}$

Exemple

L'équation différentielle linéaire homogène à coefficients constants

${\displaystyle y^{(5)}+y^{(4)}-4y^{(3)}-16y''-20y'-12y=0~}$

a pour équation caractéristique

${\displaystyle r^{5}+r^{4}-4r^{3}-16r^{2}-20r-12=0.~}$

En factorisant l'équation caractéristique, on obtient :

${\displaystyle (r-3)(r^{2}+2r+2)^{2}=0.~}$

On peut voir que les solutions sont la racine simple réelle ${\displaystyle r_{1}=3}$ et les racines doubles complexes ${\displaystyle r_{2,3,4,5}=-1\pm i}$. Cela correspond à la solution générale à valeurs réelles

${\displaystyle y(x)=c_{1}e^{3x}+e^{-x}(c_{2}\cos x+c_{3}\sin x)+xe^{-x}(c_{4}\cos x+c_{5}\sin x)}$

où ${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{5}}$ sont des constantes réelles arbitraires.

Racines réelles simples

Le principe de superposition des équations différentielles linéaires homogènes à coefficients constants dit que si ${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{n}}$ sont ${\displaystyle n}$ des solutions linéairement indépendantes d'une équation différentielle particulière, alors^[1] ${\displaystyle c_{1}u_{1}+\cdots +c_{n}u_{n}}$ est aussi une solution pour toutes les valeurs ${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{n}}$. Par conséquent, si l'équation caractéristique a pour solution les racines réelles distinctes ${\displaystyle r_{1},\ldots ,r_{n}}$, alors la solution générale sera de la forme

${\displaystyle y_{D}(x)=c_{1}e^{r_{1}x}+c_{2}e^{r_{2}x}+\cdots +c_{n}e^{r_{n}x}.}$

Racines réelles multiples

Si l'équation caractéristique a une racine ${\displaystyle r_{1}}$ qui est répétée ${\displaystyle k}$ fois, alors il est clair que ${\displaystyle y_{p}(x)=c_{1}e^{r_{1}x}}$, au moins, est solution^[1]. Mais cela ne suffit pas : à cette racine ${\displaystyle r_{1}}$ d'ordre ${\displaystyle k}$ doivent correspondre ${\displaystyle k}$ solutions indépendantes. Puisque ${\displaystyle r_{1}}$ est racine multiple d'ordre ${\displaystyle k}$, l'équation différentielle peut être factorisée en^[1] :

${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}-r_{1}\right)^{k}y=0.}$

Le fait que ${\displaystyle y_{p}(x)=c_{1}e^{r_{1}x}}$ soit une solution permet de supposer que la solution générale peut être de la forme ${\displaystyle y(x)=u(x)e^{r_{1}x}}$ où ${\displaystyle u}$ est une fonction à déterminer.

En remplaçant ${\displaystyle y}$ par ${\displaystyle ue^{r_{1}x}}$ on obtient :

${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}-r_{1}\right)ue^{r_{1}x}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(ue^{r_{1}x})-r_{1}ue^{r_{1}x}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(u)e^{r_{1}x}+r_{1}ue^{r_{1}x}-r_{1}ue^{r_{1}x}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(u)e^{r_{1}x}.}$

En appliquant ce fait ${\displaystyle k}$ fois, il s'ensuit que

${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}-r_{1}\right)^{k}ue^{r_{1}x}={\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} x^{k}}}(u)e^{r_{1}x}.}$

L'équation différentielle sur ${\displaystyle y}$ équivaut donc à l'équation différentielle suivante sur ${\displaystyle u}$ :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} x^{k}}}(u)e^{r_{1}x}=0.}$

En divisant par ${\displaystyle e^{r_{1}x}}$, elle devient :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} x^{k}}}(u)=u^{(k)}=0.}$

Par conséquent, ${\displaystyle u}$ est solution si et seulement si^[4] c'est un polynôme de degré inférieur ou égal à ${\displaystyle k-1}$, soit

${\displaystyle u(x)=c_{1}+c_{2}x+c_{3}x^{2}+\cdots +c_{k}x^{k-1}.}$

Puisque ${\displaystyle y(x)=ue^{r_{1}x}}$, la partie de la solution générale correspondant à la racine ${\displaystyle r_{1}}$ est

${\displaystyle y_{R_{1}}(x)=e^{r_{1}x}(c_{1}+c_{2}x+\cdots +c_{k}x^{k-1}).}$

Racines complexes

Dans le cas d'une équation différentielle linéaire homogène d'ordre 2 à coefficients réels constants, si l'équation caractéristique a des racines complexes de la forme ${\displaystyle r_{1}=a+b\mathrm {i} }$ et ${\displaystyle r_{2}=a-b\mathrm {i} }$, alors la solution générale à valeurs complexes est

${\displaystyle y(x)=c_{1}\operatorname {e} ^{(a+b\mathrm {i} )x}+c_{2}\operatorname {e} ^{(a-b\mathrm {i} )x},\quad c_{1},c_{2}\in \mathbb {C} }$

ou, ce qui est équivalent :

${\displaystyle y(x)=\operatorname {e} ^{ax}\left(d_{1}\cos(bx)+d_{2}\sin(bx)\right),\quad d_{1},d_{2}\in \mathbb {C} }$.

L'intérêt de la seconde expression est de fournir les fonctions à valeurs réelles solutions de l'équation différentielle, pour les valeurs réelles des constantes ${\displaystyle d_{1},d_{2}}$.

Notes et références

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