Équation des géodésiques

Dans une variété riemannienne, on obtient l'équation d'une géodésique en exprimant que sa longueur est minimale – par définition.

Un système de coordonnées ${\displaystyle x^{i}}$ étant donné, le tenseur métrique donne la longueur d'une courbe infinitésimale^[1] :

${\displaystyle \mathrm {d} s={\sqrt {\pm g_{ij}\mathrm {d} x^{i}\mathrm {d} x^{j}}}}$.

Le signe optionnel ${\displaystyle \pm }$ est choisi en fonction du signe de l'intervalle et de la signature du tenseur métrique.

Si la courbe est paramétrée au moyen d'une variable ${\displaystyle \tau }$, on écrit

${\displaystyle {\dot {s}}={\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} \tau }}={\sqrt {\pm g_{ij}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}}}}$,

où le point supérieur représente la dérivée totale par rapport à ${\displaystyle \tau }$. La longueur de la trajectoire est donc égale à l'intégrale :

${\displaystyle \int {\sqrt {\pm g_{ij}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}}}\mathrm {d} \tau }$

En utilisant la méthode de Lagrange relative au calcul des variations pour exprimer que l'intégrale est minimale, on obtient l'équation géodésique

La paramétrisation canonique ${\displaystyle \tau =s}$ des trajectoires permet d'obtenir une équation mettant en jeu les symboles de Christoffel :

${\displaystyle {\ddot {x}}^{k}+\Gamma _{ij}^{k}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}=0}$

Démonstration

Explicitant ${\displaystyle {\dot {s}}}$ dans l'équation géodésique précédente :

${\displaystyle {\frac {\partial {\dot {s}}}{\partial x^{k}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \tau }}\left({\frac {\partial {\dot {s}}}{\partial {\dot {x}}^{k}}}\right)=0}$,

on a, en notant ${\displaystyle g_{ij,k}=\partial _{k}g_{ij}}$ la dérivée partielle du tenseur métrique par rapport à la k-ème coordonnée :

${\displaystyle {\frac {1}{2{\dot {s}}}}g_{ij,k}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \tau }}\left({\frac {1}{\dot {s}}}g_{ki}{\dot {x}}^{i}\right)=0}$

Paramétrons la trajectoire par sa longueur ${\displaystyle s}$, c’est-à-dire posons ${\displaystyle \tau =s}$. Avec ce choix, on a ${\displaystyle {\dot {s}}=1}$ et l'équation géodésique devient

${\displaystyle {\frac {1}{2}}g_{ij,k}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}\left(g_{ki}{\dot {x}}^{i}\right)=0}$

Comme le tenseur métrique dépend de ${\displaystyle x^{i}}$ mais pas explicitement de ${\displaystyle {\dot {x}}^{i}}$, on a ${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} g_{ki}}{\mathrm {d} s}}=g_{ki,j}{\tfrac {\mathrm {d} x^{j}}{\mathrm {d} s}}=g_{ki,j}{\dot {x}}^{j}}$ et l'équation géodésique prend la forme

${\displaystyle {\frac {1}{2}}g_{ij,k}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}-g_{ki,j}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}-g_{ki}{\ddot {x}}^{i}=0}$

ou encore, en utilisant le fait que les indices i et j jouent des rôles symétriques, et donc que ${\displaystyle g_{ki,j}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}=g_{kj,i}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}}$ :

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(g_{ij,k}-g_{ki,j}-g_{kj,i}\right){\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}-g_{ki}{\ddot {x}}^{i}=0}$

Or la nullité de la dérivée covariante du tenseur métrique permet d'affirmer que :

${\displaystyle g_{ij,k}=\Gamma _{ik}^{l}g_{lj}+\Gamma _{jk}^{l}g_{il}}$ ${\displaystyle g_{ki,j}=\Gamma _{kj}^{l}g_{li}+\Gamma _{ij}^{l}g_{kl}}$ ${\displaystyle g_{kj,i}=\Gamma _{ki}^{l}g_{lj}+\Gamma _{ij}^{l}g_{kl}}$

donc, en utilisant la symétrie du tenseur métrique et des symboles de Christoffel :

${\displaystyle g_{ij,k}-g_{ki,j}-g_{kj,i}=-2\Gamma _{ij}^{l}g_{kl}}$

et donc :

${\displaystyle -\Gamma _{ij}^{l}g_{kl}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}=g_{ki}{\ddot {x}}^{i}=g_{kl}{\ddot {x}}^{l}}$

en renommant l'indice i en l dans la dernière égalité. Il suffit alors d'appliquer l'inverse du tenseur g pour conclure que :

${\displaystyle {\ddot {x}}^{l}=-\Gamma _{ij}^{l}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}}$.

Exemple

Considérons le demi-plan de Poincaré, dont les points sont repérés par un couple (x,y), avec y > 0. La métrique sur ce demi-plan est donnée au point (x,y) par :

${\displaystyle g(x,y)={\frac {dx^{2}+dy^{2}}{y^{2}}}}$

Le calcul des symboles de Christoffel à partir de ce tenseur donne :

${\displaystyle \Gamma _{xx}^{y}=-\Gamma _{xy}^{x}=-\Gamma _{yx}^{x}=-\Gamma _{yy}^{y}={\frac {1}{y}}}$

L'équation des géodésiques donne, en notant ${\displaystyle v_{x}={\dot {x}}}$ et ${\displaystyle v_{y}={\dot {y}}}$:

${\displaystyle {\dot {v}}_{x}-{\frac {2}{y}}v_{x}v_{y}=0}$

${\displaystyle {\dot {v}}_{y}+{\frac {1}{y}}(v_{x}^{2}-v_{y}^{2})=0}$

auxquelles on peut rajouter l'équation ${\displaystyle g(v_{x},v_{y})=1}$ qui a servi d'hypothèse pour établir l'équation des géodésiques, ce qui donne ici :

${\displaystyle {\frac {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}{y^{2}}}=1}$

Si on remplace ${\displaystyle v_{y}}$ par ${\displaystyle {\dot {y}}}$ dans la première équation, on obtient ${\displaystyle {\frac {dv_{x}}{dy}}-{\frac {2}{y}}v_{x}=0}$ dont les solutions sont de la forme ${\displaystyle v_{x}=\alpha y^{2}={\dot {x}}}$ pour une certaine constante ${\displaystyle \alpha }$. La relation ${\displaystyle {\frac {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}{y^{2}}}=1}$ donne alors ${\displaystyle v_{y}=\pm y{\sqrt {1-\alpha ^{2}y^{2}}}={\dot {y}}}$.

Si ${\displaystyle \alpha }$ est nul, on obtient respectivement x constant et ${\displaystyle y=e^{\pm t}}$ (en choisissant convenablement l'origine des temps). La géodésique est une droite parallèle à Oy, parcourue de façon exponentielle. On s'approche indéfiniment du bord y=0 ou on s'éloigne indéfiniment en faisant tendre t vers l'infini.

Si ${\displaystyle \alpha }$ est non nul, l'intégration de l'équation ${\displaystyle {\dot {y}}=\pm y{\sqrt {1-\alpha ^{2}y^{2}}}}$ conduit à ${\displaystyle y={\frac {1}{\alpha \cosh(t)}}}$ (en choisissant convenablement l'origine des temps). Puis l'intégration de l'équation ${\displaystyle {\dot {x}}=\alpha y^{2}}$ conduit à ${\displaystyle x={\frac {\tanh(t)}{\alpha }}}$ (à translation près parallèlement à Ox). On constate que ${\displaystyle x^{2}+y^{2}={\frac {1}{\alpha ^{2}}}}$ et les géodésiques sont des demi-cercles de diamètre porté par Ox. Quand t tend vers l'infini, on s'approche indéfiniment du bord Oy qui constitue une limite du demi-plan de Poincaré située à l'infini.

Voir aussi

• Variété riemannienne
• Courbure
• Géodésique

Notes et références

• Portail de la géométrie
• Portail de la physique