Catégorie *-autonome

En mathématiques, une catégorie *-autonome (lire « étoile-autonome » ou « star-autonome ») est une structure étudiée en théorie des catégories.

Il s'agit plus précisément d'une catégorie qui possède un objet dit « dualisant » et qui vérifie un jeu d'axiomes précis. Cette structure rend compte de plusieurs situations essentielles qui apparaissent naturellement en logique mathématique, en topologie, en informatique théorique et en physique théorique et a été introduite par le mathématicien américain Michael Barr (en) en 1979.

Le terme « *-autonome » fait écho à la notion de catégorie rigide (en), aussi dite « autonome », qui est une catégorie où la notion de dual peut être définie.

Définition

Catégorie *-autonome ordinaire

Définition explicite

Soit ${\displaystyle \langle C,\otimes ,1\rangle }$ une catégorie monoïdale symétrique fermée, dont le foncteur Hom interne est noté ${\displaystyle \multimap }$. C est une catégorie *-autonome si elle est équipée d'un objet dualisant ${\displaystyle \bot }$ et pour tout objet A, d'un isomorphisme :

${\displaystyle d_{A}:A\to \left(A\multimap \bot \right)\multimap \bot }$.

Cette application n'est autre que la transposée de l'application d'évaluation :

${\displaystyle \mathrm {eval} _{A,\bot }:(A\multimap \bot )\otimes A\to \bot }$

Le fait qu'il s'agisse d'un isomorphisme permet de donner un sens à la double négation, et donc de rendre compte de logiques plus flexibles que la logique intuitionniste.

Définition implicite

Une définition alternative, mais équivalente, est de considérer sur cette catégorie C le foncteur

${\displaystyle (-)^{*}=(-)\multimap \bot }$

et de demander qu'existe une bijection naturelle

${\displaystyle \mathrm {Hom} (X\otimes Y,Z^{*})\simeq \mathrm {Hom} (X,(Y\otimes Z)^{*})}$

Le rôle de l'objet dualisant ${\displaystyle \bot }$ est alors joué par ${\displaystyle 1^{*}}$.

Catégorie *-autonome enrichie

Soit V une catégorie monoïdale, il existe une notion de catégorie *-autonome V-enrichie. Elle coïncide avec la notion classique lorsque V = Set.

Un V-foncteur F : A → B est dit essentiellement surjectif sur les objets lorsque tout objet de B est isomorphe à Fa pour un objet a de A. Une *-opération à gauche est un V-foncteur

${\displaystyle S:A\to A^{\mathrm {op} }}$

associé à la famille V-naturelle d'isomorphismes

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{A}(X\otimes Y,SZ)\simeq \operatorname {Hom} _{A}(X,S(Y\otimes Z))}$.

Une V-catégorie *-autonome est une V-catégorie monoïdale équipée d'une *-opération à gauche pleine et fidèle. Ces catégories sont en particulier fermées, et l'objet dualisant est SI.

Exemples

• Les espaces de cohérence (en) en logique linéaire, introduits par Jean-Yves Girard, sont des catégories *-autonomes. En effet la structure *-autonome permet de rendre compte des opérations de cette logique : si on note ${\displaystyle X^{\bot }=(X\multimap \bot )}$, on observe que ${\displaystyle X}$ est canoniquement isomorphe à ${\displaystyle X^{\bot \bot }}$ et on peut définir l'opération « par » X ⅋ Y comme ${\displaystyle (X^{\bot }\otimes Y^{\bot })^{\bot }}$.
• La catégorie des k-espaces vectoriels de dimension finie, où k est un corps, est *-autonome. Le corps de base joue le rôle de l'objet dualisant, et le dual usuel (c'est-à-dire en tant qu'espace vectoriel dual) V* est exactement le dual au sens *-autonome. La catégorie de tous les k-espaces vectoriels (non nécessairement de dimension finie) n'est en revanche pas *-autonome.
• Les espaces de Chu (en), qui généralisent les espaces topologiques, sont naturellement dotés d'une structure *-autonome, et sont en particulier utilisés pour modéliser les automates et les problèmes de concurrence.

Voir aussi

• Construction de Chu (en)
• Catégorie rigide (en)
• Logique linéaire

Références

• (en) Michael Barr, *-Autonomous Categories, Springer-Verlag, coll. « Lecture Notes in Mathematics » (n^o 752), 1979 (DOI 10.1007/BFb0064579)
• (en) Michael Barr, « *-autonomous categories and linear logic », Mathematical Structures in Computer Science, vol. 1,‎ 1991, p. 159-178
• (en) Michael Barr, « *-autonomous categories: once more around the track », Theory and Applications of Categories, vol. 6,‎ 1999, p. 5-24
• (en) Michael Barr, « Non-symmetric *-autonomous categories », Theoretical Computer Science, vol. 139,‎ 1995, p. 115-130
• (en) Jean-Yves Girard, Yves Lafont et Paul Taylor, Proofs and Types, Cambridge University Press, 1989 (lire en ligne)
• (en) Ross Street, « Quantum categories, star autonomy, and quantum groupoids », Galois theory, Hopf algebras, and semiabelian categories, vol. 43,‎ 2004, p. 187 (lire en ligne)

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