Constante d'Erdős-Tenenbaum-Ford

La constante d’Erdős–Tenenbaum–Ford est une constante mathématique qui intervient en théorie des nombres[1]. Portant le nom des mathématiciens Paul Erdős, Gérald Tenenbaum et Kevin Ford, elle est définie par

δ := 1 − 1 + log ⁡ log ⁡ 2 log ⁡ 2 = 0.0860713320 … {\displaystyle \delta :=1-{\frac {1+\log \log 2}{\log 2}}=0.0860713320\dots }

où log {\displaystyle \log } est ici le logarithme népérien.

Problème de la table de multiplication

Pour tout entier positif N {\displaystyle N} , soit M ( N ) {\displaystyle M(N)} le nombre d’entiers distincts dans une table de multiplication N × N {\displaystyle N\times N} . En 1960, Erdős a étudié le comportement asymptotique de M ( N ) {\displaystyle M(N)} et il a prouvé que

M ( N ) = N 2 ( log ⁡ N ) δ + o ( 1 ) , {\displaystyle M(N)={\frac {N^{2}}{(\log N)^{\delta +o(1)}}},}

lorsque N {\displaystyle N} tend vers l’infini[2].

Diviseurs

Après un travail antérieur de Tenenbaum, Ford a utilisé cette constante pour analyser le nombre H ( x , y , z ) {\displaystyle H(x,y,z)} d’entiers qui sont inférieurs ou égaux à x {\displaystyle x} et ont au moins un diviseur compris entre y {\displaystyle y} et z {\displaystyle z} [3],[4],[5].

Références

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Erdős–Tenenbaum–Ford constant » (voir la liste des auteurs).
  1. ↑ Florian Luca et Carl Pomerance, « On the range of Carmichael's universal-exponent function », Acta Arithmetica, vol. 162, no 3,‎ , p. 289–308 (DOI 10.4064/aa162-3-6, MR 3173026, lire en ligne).
  2. ↑ Paul Erdős, « An asymptotic inequality in the theory of numbers », Vestnik Leningrad. Univ., vol. 15,‎ , p. 41–49 (MR 0126424).
  3. ↑ Gérald Tenenbaum, « Sur la probabilité qu'un entier possède un diviseur dans un intervalle donné », Compositio Mathematica, vol. 51, no 2,‎ , p. 243–263 (MR 739737, lire en ligne).
  4. ↑ (en) Kevin Ford, « The distribution of integers with a divisor in a given interval », Annals of Mathematics, 2e série, vol. 168, no 2,‎ , p. 367–433 (DOI 10.4007/annals.2008.168.367 Accès libre, MR 2434882, arXiv math/0401223).
  5. ↑ Dimitris Koukoulopoulos, « Divisors of shifted primes », International Mathematics Research Notices, vol. 2010, no 24,‎ , p. 4585–4627 (MR 2739805, S2CID 7503281).

Lien externe

  • Constante d'Erdős–Tenenbaum–Ford sur la base OEIS.
  • icône décorative Arithmétique et théorie des nombres