Coordonnées grassmanniennes

Les coordonnées grassmanniennes sont une généralisation des coordonnées plückeriennes qui permettent de paramétrer les sous espaces de dimension ${\displaystyle k}$ de l'espace vectoriel ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ par un élément de l'espace projectif de l'espace vectoriel des produits extérieurs des familles de ${\displaystyle k}$ vecteurs de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Le plongement plückerien

Le plongement plückerien est un plongement naturel de la variété grassmannienne ${\displaystyle G(k,n)}$ dans l'espace projectif ${\displaystyle P(\Lambda ^{k}(\mathbb {R} ^{n}))}$:

${\displaystyle \psi :{\mbox{G(k,n)}}\rightarrow \mathbf {P} (\bigwedge ^{k}(\mathbb {R} ^{n})).}$

Ce plongement est défini comme suit. Si ${\displaystyle W}$ est un sous-espace de dimension ${\displaystyle k}$ de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, on définit d'abord une base ${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{k})}$ de ${\displaystyle W}$, puis on forme le produit extérieur ${\displaystyle \phi (W)=e_{1}\wedge \cdots \wedge e_{k}.}$ Ce produit extérieur dépend de la base, mais comme deux familles de ${\displaystyle k}$ vecteurs engendrent le même sous-espace vectoriel si et seulement si leurs produits extérieurs sont colinénaires, un passage au quotient fait de ${\displaystyle \psi }$ un plongement de ${\displaystyle G(k,n)}$ dans l'espace projectif de l'espace des produits extérieurs (de dimension ${\displaystyle C_{n}^{k}-1,}$).

Ce plongement est naturellement injectif car on obtient ${\displaystyle W}$ comme le sous-espace de dimension ${\displaystyle k}$ des vecteurs ${\displaystyle w}$ satisfaisant à ${\displaystyle w\wedge \phi (W)\ =0}$. Lorsque ${\displaystyle k=2,n=4}$ on retrouve les coordonnées plückeriennes.

D'autre part les images de la grassmannienne satisfont une relation polynomiale quadratique assez simple, appelée la relation de Plücker ; de sorte que la grassmannienne se réalise par ce biais comme une sous-variété de ${\displaystyle \mathbf {P} (\wedge ^{k}(\mathbb {R} ^{n}))}$. Les relations de Plücker s'obtiennent en prenant deux sous-espaces vectoriels ${\displaystyle k}$-dimensionnels W et V de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ respectivement munis des bases ${\displaystyle (w_{1},\cdots ,w_{k})}$ et ${\displaystyle (v_{1},\cdots ,v_{k})}$. Alors, dans le système de coordonnées homogènes de ${\displaystyle \mathbf {P} (\wedge ^{k}(\mathbb {R} ^{n}))}$, on a pour tout ${\displaystyle r\in \{1,\cdots ,k\}}$ :

${\displaystyle \psi (W)\bigwedge \psi (V)-\sum _{i_{1}<\cdots <i_{r}}(v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{i_{1}-1}\wedge w_{1}\wedge v_{i_{1}+1}\wedge \cdots \wedge v_{i_{r}-1}\wedge w_{r}\wedge v_{i_{r}+1}\wedge \cdots \wedge v_{k})\cdot (v_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge v_{i_{r}}\wedge w_{r+1}\cdots \wedge w_{k})=0.}$

Dans le cas de la dimension ${\displaystyle n=4}$ et des coordonnées de Plücker (${\displaystyle k=2}$), on obtient une seule équation, qui s'écrit :

${\displaystyle X_{01}X_{23}-X_{02}X_{13}+X_{12}X_{03}=0.}$

Bibliographie

• Laurent Lafforgue : Chirurgie des grassmanniennes

• Les coordonnées de Plücker revisitées par Lilian Aveneau de l'Université de Poitiers

• Des planches de Jussieur sur le plongement de Plucker : ici ou là

Liens internes

• Hermann Grassmann
• Coordonnées plückeriennes
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