Fibré associé

En géométrie différentielle, un fibré associé est un fibré qui est induit par un G {\displaystyle G} -fibré principal et une action du groupe structurel sur un espace auxiliaire.

Définition

Soient :

  • G {\displaystyle G} , un groupe de Lie ;
  • B {\displaystyle B} , une variété différentielle ;
  • π : P → B {\displaystyle \pi :P\to B} , un G {\displaystyle G} -fibré principal sur B {\displaystyle B}  ;
  • Φ : G → D i f f ( P ) {\displaystyle \Phi :G\to \mathrm {Diff} (P)} l'action de groupe à droite de G {\displaystyle G} sur P {\displaystyle P}  ;
  • ρ : G → D i f f ( M ) {\displaystyle \rho :G\to \mathrm {Diff} (M)} une action de groupe à gauche de G {\displaystyle G} sur une variété différentielle M {\displaystyle M} .
Définition

Le fibré associé à P {\displaystyle P} pour ρ {\displaystyle \rho } est le fibré p r : E → B {\displaystyle \mathrm {pr} :E\to B} où E {\displaystyle E} est défini par :

E := P × ρ M := ( P × M ) / ∼ {\displaystyle E:=P\times _{\rho }M:=(P\times M)/\sim }

où la relation d'équivalence est :

( a , b ) ∼ ( Φ λ ( a ) , ρ ( λ ) − 1 ( b ) ) , ∀ a ∈ P , ∀ b ∈ M , ∀ λ ∈ G {\displaystyle (a,b)\sim (\Phi _{\lambda }(a),\rho (\lambda )^{-1}(b)),\qquad \forall a\in P,\;\forall b\in M,\;\forall \lambda \in G}
Remarques
  • Les fibres de E {\displaystyle E} sont de fibre type M {\displaystyle M} . Il est donc commun d'écrire le fibré E {\displaystyle E} comme M ↪ E → B {\displaystyle M\hookrightarrow E\to B} .
  • Lorsque l'action de groupe ρ {\displaystyle \rho } est une représentation de groupe ρ : G → A u t ( V ) {\displaystyle \rho :G\to \mathrm {Aut} (V)} sur un espace vectoriel V {\displaystyle V} , le fibré associé est un fibré vectoriel de fibre type V {\displaystyle V} .
  • Lorsque ρ {\displaystyle \rho } agit trivialement sur M {\displaystyle M} , i.e. ρ ( λ ) = i d M {\displaystyle \rho (\lambda )=\mathrm {id} _{M}} pour tout λ ∈ G {\displaystyle \lambda \in G} , le fibré associé est trivial, i.e. P × ρ M = B × M {\displaystyle P\times _{\rho }M=B\times M} .

Sections d'un fibré associé

Donnons-nous un fibré vectoriel associé E = P × ρ V {\displaystyle E=P\times _{\rho }V} . Les sections ψ ∈ Γ ( E ) {\displaystyle \psi \in \Gamma (E)} du fibré E {\displaystyle E} sont en bijection avec les fonctions ψ ♯ : P → V {\displaystyle \psi ^{\sharp }:P\to V} qui sont ρ {\displaystyle \rho } -équivariantes :

( Φ λ ) ∗ ψ ♯ = ρ ( λ ) − 1 ∘ ψ ♯ , ∀ λ ∈ G {\displaystyle (\Phi _{\lambda })^{*}\psi ^{\sharp }=\rho (\lambda )^{-1}\circ \psi ^{\sharp },\qquad \forall \lambda \in G}

Explicitement, la relation entre la section ψ {\displaystyle \psi } et la fonction ψ ♯ {\displaystyle \psi ^{\sharp }} est :

ψ ( π ( a ) ) = [ a , ψ ♯ ( a ) ] , ∀ a ∈ P {\displaystyle \psi (\pi (a))=[a,\psi ^{\sharp }(a)],\qquad \forall a\in P}

Ici, [ ⋅ ] {\displaystyle [\cdot ]} dénote la classe d'équivalence pour la relation d'équivalence ci-haut.

La notion de section d'un fibré associé se généralise à la notion de forme différentielle à valeurs en un fibré associé. Ces dernières formes différentielles correspondent à des formes basiques sur P {\displaystyle P} .

Exemples

  • Exemple 1 :

Soit F r ( B ) {\displaystyle \mathrm {Fr} (B)} le fibré des repères linéaires tangents à B {\displaystyle B} . Point par point sur la variété B {\displaystyle B} , les éléments du fibré des repères sont les isomorphismes linéaires allant de l'espace R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} à l'espace tangent de B {\displaystyle B}  :

F r x ( B ) := I s o m ( R n ; T x B ) {\displaystyle \mathrm {Fr} _{x}(B):=\mathrm {Isom} (\mathbb {R} ^{n};T_{x}B)}

Le fibré des repères F r ( B ) {\displaystyle \mathrm {Fr} (B)} est un G L ( n ; R ) {\displaystyle \mathrm {GL} (n;\mathbb {R} )} -fibré principal sur B {\displaystyle B} . Considérons la représentation canonique ρ {\displaystyle \rho } du groupe structurel G L ( n ; R ) {\displaystyle \mathrm {GL} (n;\mathbb {R} )} sur l'espace vectoriel R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} . Alors, le fibré tangent de B {\displaystyle B} est un fibré associé du fibré des repères :

T B = F r ( B ) × ρ R n {\displaystyle TB=\mathrm {Fr} (B)\times _{\rho }\mathbb {R} ^{n}}

De même, le fibré cotangent de B {\displaystyle B} est un fibré associé pour la représentation duale de la représentation canonique :

T ∗ B = F r ( B ) × ρ ∗ ( R n ) ∗ {\displaystyle T^{*}B=\mathrm {Fr} (B)\times _{\rho ^{*}}(\mathbb {R} ^{n})^{*}}
  • Exemple 2 :

Soit C × := ( C ∖ { 0 } , ⋅ ) {\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }:=(\mathbb {C} \backslash \{0\},\cdot )} le groupe des nombres complexes non nuls munis de la multiplication. Donnons-nous un C × {\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }} -fibré principal P → B {\displaystyle P\to B} . Considérons la représentation canonique de C × {\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }} sur C {\displaystyle \mathbb {C} }  :

ρ ( λ ) ( z ) := λ z , ∀ λ ∈ C × , ∀ z ∈ C {\displaystyle \rho (\lambda )(z):=\lambda z,\qquad \forall \lambda \in \mathbb {C} ^{\times },\;\forall z\in \mathbb {C} }

Le fibré associé à P {\displaystyle P} via ρ {\displaystyle \rho } est un fibré en droites complexes C ↪ E → B {\displaystyle \mathbb {C} \hookrightarrow E\to B} . Un tel fibré vectoriel apparaît, par exemple, en quantification géométrique.

Bibliographie

  • (en) S. K. Donaldson et P. B. Kronheimer, The Geometry of Four-Manifolds, 1986
  • (en) José Figueroa-O’Farrill, Lectures on Gauge Theory, 2006
  • (en) Shoshichi Kobayashi (en) et Katsumi Nomizu (en), Foundations of Differential Geometry,
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