Forme différentielle fermée

En topologie différentielle, une forme différentielle est dite fermée lorsque sa dérivée extérieure est nulle.

D'après le théorème de Schwarz, toute forme exacte de classe C1 est fermée. Le lemme de Poincaré fournit une réciproque partielle.

Cas des 1-formes

Article détaillé : Forme différentielle de degré un.

En dimension n, une 1-forme

ω ( u ) = a 1 ( u ) d x 1 + . . . + a n ( u ) d x n {\displaystyle \omega (u)=a_{1}(u)\mathrm {d} x_{1}+...+a_{n}(u)\mathrm {d} x_{n}}

est fermée si

∀ i < j ≤ n ∂ a i ∂ x j − ∂ a j ∂ x i = 0. {\displaystyle \forall i<j\leq n\quad {\frac {\partial a_{i}}{\partial x_{j}}}-{\frac {\partial a_{j}}{\partial x_{i}}}=0.}

Il y a donc n(n – 1)/2 conditions à satisfaire.

  • En dimension 1, une 1-forme dérivable ω = A ( x ) d x {\displaystyle \omega =A(x)\mathrm {d} x} est toujours fermée.
  • En dimension 2, une 1-forme ω = A ( x , y ) d x + B ( x , y ) d y {\displaystyle \omega =A(x,y)\mathrm {d} x+B(x,y)\mathrm {d} y} est fermée si ( ∂ A ∂ y ) x = ( ∂ B ∂ x ) y . {\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x}=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y}.}
  • En dimension 3, une 1-forme ω = A ( x , y , z ) d x + B ( x , y , z ) d y + C ( x , y , z ) d z {\displaystyle \omega =A(x,y,z)\mathrm {d} x+B(x,y,z)\mathrm {d} y+C(x,y,z)\mathrm {d} z} est fermée si ( ∂ A ∂ y ) x , z = ( ∂ B ∂ x ) y , z {\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x,z}\!\!\!=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y,z}}   ;   ( ∂ A ∂ z ) x , y = ( ∂ C ∂ x ) y , z {\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial z}}\right)_{x,y}\!\!\!=\left({\frac {\partial C}{\partial x}}\right)_{y,z}}   ;   ( ∂ B ∂ z ) x , y = ( ∂ C ∂ y ) x , z , {\displaystyle \left({\frac {\partial B}{\partial z}}\right)_{x,y}\!\!\!=\left({\frac {\partial C}{\partial y}}\right)_{x,z},} ce qui correspond à
    rot → Ω = 0 {\displaystyle {\overrightarrow {\operatorname {rot} }}\,\Omega =\mathbf {0} }
    avec
    Ω = ( A B C ) . {\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}A\\B\\C\end{pmatrix}}.}

Références

  • Jacques Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles [détail des éditions]
  • Samuel Ferdinand Lubbe, Traité de calcul différentiel et de calcul intégral, Bachelier, 1832 [lire en ligne]
  • icône décorative Portail de l'analyse