Hyperplan

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En mathématiques et plus particulièrement en algèbre linéaire et géométrie, les hyperplans d'un espace vectoriel E de dimension quelconque sont la généralisation des plans vectoriels d'un espace de dimension 3 : ce sont les sous-espaces vectoriels de codimension 1 dans E. Si E est de dimension finie n non nulle, ses hyperplans sont donc ses sous-espaces de dimension n – 1 : par exemple l'espace nul dans une droite vectorielle, une droite vectorielle dans un plan vectoriel, etc.

Caractérisation

Soient E un espace vectoriel et H un sous-espace. Les propositions suivantes sont équivalentes^[1] :

1. H est un hyperplan de E ;
2. il existe dans E une droite vectorielle supplémentaire de H ;
3. H ≠ E et toute droite vectorielle de E engendrée par un vecteur n'appartenant pas à H est un supplémentaire de H ;
4. H est le noyau d'une forme linéaire non nulle ;
5. H est défini par une équation linéaire homogène non triviale.

Exemples

• Dans le K-espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans un corps K, l'ensemble des matrices de trace nulle est un hyperplan.
• Dans le K-espace vectoriel K[X] des polynômes à une indéterminée, l'ensemble des polynômes divisibles par X est un hyperplan, car c'est le noyau de la forme linéaire P ↦ P(0).

Représentation des sous-espaces

Pour tout entier naturel q et dans tout espace vectoriel (de dimension finie ou infinie), les sous-espaces de codimension q sont exactement les intersections de q hyperplans « indépendants ».

Hyperplans affines

Soit E un espace affine de direction V. Les sous-espaces affines de E dont la direction est un hyperplan (vectoriel) de V sont appelés les hyperplans (affines) de E.

Étant donné un hyperplan H de V, une partie F de E est donc un hyperplan de direction H si et seulement s'il existe un point A tel que${\displaystyle H=\{{\overrightarrow {AM}}\mid M\in F\}.}$ Un tel point A appartient alors nécessairement à F, et tout autre point de F vérifie la même propriété.

Références

v · m Algèbre linéaire générale
Vecteur Scalaire Combinaison linéaire Espace vectoriel Matrice
Famille de vecteurs	Famille génératrice Famille libre (indépendance linéaire) Base Théorème de la base incomplète Théorème de la dimension pour les espaces vectoriels Rang Colinéarité
Sous-espace	Sous-espace vectoriel Somme de Minkowski Somme directe Sous-espace supplémentaire Dimension Codimension Droite Plan Hyperplan
Morphisme et notions relatives	Application linéaire Noyau Conoyau Lemme des noyaux Pseudo-inverse Théorème de factorisation Théorème du rang Équation linéaire Système d'équations linéaires Élimination de Gauss-Jordan Forme linéaire Espace dual Orthogonalité Base duale Endomorphisme linéaire Valeur propre, vecteur propre et espace propre Projecteur Symétrie Matrice diagonalisable Diagonalisation Endomorphisme nilpotent
Dimension finie	Espace vectoriel de dimension finie Trace Déterminant Polynôme caractéristique Polynôme d'endomorphisme Théorème de Cayley-Hamilton Polynôme minimal d'un endomorphisme Invariants de similitude Réduction d'endomorphisme Réduction de Jordan Décomposition de Dunford Décomposition de Frobenius
Enrichissements de structure	Norme Produit scalaire Forme quadratique Espace vectoriel topologique Orientation Algèbre sur un corps Algèbre de Lie Complexe différentiel
Développements	Théorie des matrices Représentation de groupe Analyse fonctionnelle Algèbre multilinéaire Module sur un anneau

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