Inégalité de Markov
En théorie des probabilités, l'inégalité de Markov donne une majoration de la probabilité qu'une variable aléatoire réelle à valeurs positives soit supérieure ou égale à une constante positive. Cette inégalité a été nommée ainsi en l'honneur d'Andreï Markov.
Énoncé
Inégalité de Markov — Soit Z une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé et supposée presque sûrement positive ou nulle. Alors
Soit . On note la fonction indicatrice de l'événement .
On a l'inégalité :
car est à valeurs positives ou nulles.
Par croissance de l'espérance, on a :
Puis, par linéarité de l'espérance :
En réinjectant l'expression dans l'inégalité , on obtient :
c'est-à-dire
Généralisation
Il existe une version plus générale de ce théorème. Soit X une variable aléatoire de où Ω est l'ensemble des réalisations, est la tribu des événements et la mesure de probabilité. Alors, l'inégalité de Markov peut être énoncée de la façon suivante :
Inégalité de Tchebychev — Pour tout réel strictement positif ,
La démonstration tient entièrement au fait que pour tout α strictement positif, . Ici, 1A désigne l'indicatrice de l'événement A. Par croissance de l'espérance, on obtient :
On voit immédiatement que le résultat cité plus haut n'est rien d'autre qu'un cas particulier de cette inégalité.
De plus en prenant et p = 2 on obtient exactement l'énoncé de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
Corollaire
Elle possède un corollaire fréquemment utilisé :
Corollaire — Soit ϕ une fonction croissante positive ou nulle sur un intervalle I. Soit Y une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé telle que . Alors :
On applique l'inégalité de Markov à et à pour obtenir :
La croissance de entraîne : .
Par conséquent : .
Applications
- Le choix, dans l'inégalité ci-dessus, de et ϕ(x) = x2 donne l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
- Le choix, dans l'inégalité ci-dessus, de , ou bien , de , et de ϕ(x) = eλx, λ > 0 , est le premier pas de la démonstration de l'inégalité de Chernoff ou de l'inégalité de Hoeffding.
- L'inégalité de Markov est souvent appliquée conjointement au lemme de Borel-Cantelli, par exemple pour démontrer la loi forte des grands nombres.
Exemple
Les salaires étant positifs, la part de la population percevant un salaire supérieur à 5 fois le salaire moyen est au maximum d'un cinquième[1].
Références
- ↑ Kevin Ross, 5.4 Probability inequalitlies | An Introduction to Probability and Simulation (lire en ligne)
Voir aussi
- Portail des probabilités et de la statistique