Intégrale de Frullani
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En analyse mathématique, les intégrales de Cauchy- Frullani, portant les noms d'Augustin Cauchy et de Giuliano Frullani sont des intégrales impropres de la forme
- .
Si f est localement intégrable sur l'intervalle ouvert et admet une limite finie aux deux bornes, alors l'intégrale converge et
- .
Démonstration
On a, par changement de variable,
Donc
Donc , d'où le résultat en faisant tendre vers 0 et vers l'infini.
Historique
La formule ci-dessus se trouve sans démonstration dans une lettre de Frullani datée de 1821, et a été démontrée par Cauchy en 1823[1].
Application
En prenant , on obtient , dont on déduit .
Références
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Frullani integral » (voir la liste des auteurs).
- (en) Ralph Palmer Agnew, « Mean values and Frullani integrals », Proc. A.M.S., vol. 2, , p. 237-241 (lire en ligne)
- (en) Juan Arias-de-Reyna, « On the Theorem of Frullani », Proc. A.M.S., vol. 109, no 1, , p. 165-175 (lire en ligne)
- (en) Bruce C. Berndt, « Ramanujan's Quarterly Reports », Bulletin of the London Mathematical Society, vol. 16, no 5, , p. 295-357 (lire en ligne) : voir p. 313-318
- (en) G. Boros et V. Moll, Irresistible Integrals, (lire en ligne), p. 98
- Augustin-Louis Cauchy, « Mémoire sur l'intégration des équations linéaires aux différentielles partielles et à coefficients constants », dans Journal de l'École polytechnique, (lire en ligne), p. 512-592 : p. 576 (Œuvres complètes, série 2, tome 1, p. 275-357 : p. 339)
- Augustin-Louis Cauchy, « Sur la transformation des fonctions d'une seule variable en intégrales doubles », dans Exercices de mathématiques, (lire en ligne), p. 112-124 : p. 122 (Œuvres complètes, série 2, tome 7, p. 146-159 : p. 157)
- (en) A. M. Ostrowski, « On some generalizations of th Cauchy-Frullani integral », PNAS, vol. 35, , p. 612-616 (lire en ligne)
Voir aussi
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