Intégrale de Stieltjes

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Thomas Stieltjes (1856-1894).

L'intégrale de Stieltjes constitue une généralisation de l'intégrale ordinaire, ou intégrale de Riemann. En effet, considérons deux fonctions réelles bornées f et g définies sur un intervalle fermé [a, b], ainsi qu'une subdivision a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b de cet intervalle. Si la somme de Riemann

∑ i = 1 n f ( ξ i ) ( g ( x i ) − g ( x i − 1 ) ) , {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i}){\bigl (}g(x_{i})-g(x_{i-1}){\bigr )},}

avec ξi ∈ [xi–1, xi], tend vers une limite S lorsque le pas max(xi – xi – 1) tend vers 0[1], alors S est appelée l'intégrale de Stieltjes (ou parfois l'intégrale de Riemann-Stieltjes[2]) de la fonction f par rapport à g. On la note

∫ a b f ( x ) d g ( x ) {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x)}

ou simplement ∫b
a f dg.

Propriétés

Si les fonctions f et g possèdent un point de discontinuité en commun, alors l'intégrale n'existe pas.

Cependant, si f est continue et g à variation bornée, cette intégrale est bien définie[3],[4]. Elle l'est également si f est seulement Riemann-intégrable mais g est absolument continue, et elle coïncide alors avec l'intégrale de fg' au sens de Lebesgue[5] (ou de Riemann si de plus g' est Riemann-intégrable) :

∫ a b f ( x ) d g ( x ) = ∫ a b f ( x ) g ′ ( x ) d x . {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g\,\!(x)=\int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,\mathrm {d} x.}

De plus, dans ces conditions suffisantes d'existence, f et g sont interchangeables. En effet :

Théorème d'intégration par parties[6] — Si l'une des deux intégrales de Stieltjes ∫ a b f d g {\displaystyle \int _{a}^{b}f\,\mathrm {d} g} ou ∫ a b g d f {\displaystyle \int _{a}^{b}g\,\mathrm {d} f} existe alors l'autre aussi, et leur somme est égale à [ f g ] a b := f ( b ) g ( b ) − f ( a ) g ( a ) . {\displaystyle \left[fg\right]_{a}^{b}:=f(b)g(b)-f(a)g(a).}

Démonstration

Supposons par exemple que la seconde existe. En ajoutant à la « subdivision marquée » ci-dessus les points ξ n + 1 = b {\displaystyle \xi _{n+1}=b} et ξ 0 = a {\displaystyle \xi _{0}=a} , on trouve : ∑ i = 1 n f ( ξ i ) ( g ( x i ) − g ( x i − 1 ) ) = f ( b ) g ( b ) − f ( a ) g ( a ) + ∑ i = 0 n ( f ( ξ i ) − f ( ξ i + 1 ) ) g ( x i ) . {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i}){\bigl (}g(x_{i})-g(x_{i-1}){\bigr )}=f(b)g(b)-f(a)g(a)+\sum _{i=0}^{n}{\bigl (}f(\xi _{i})-f(\xi _{i+1}){\bigr )}g(x_{i}).} On conclut en utilisant que max(ξj – ξj – 1) ≤ 2 max(xi – xi – 1).

Formules de la moyenne[7] — Si f est continue sur [a, b] et si g est monotone, il existe un réel c de [a, b] tel que

  • Première formule :
∫ a b f   d g = f ( c ) ( g ( b ) − g ( a ) ) . {\displaystyle \int _{a}^{b}f~\mathrm {d} g=f(c){\bigl (}g(b)-g(a){\bigr )}.}
  • Deuxième formule :
∫ a b g   d f = g ( a ) ∫ a c d f + g ( b ) ∫ c b d f . {\displaystyle \int _{a}^{b}g~\mathrm {d} f=g(a)\int _{a}^{c}\mathrm {d} f+g(b)\int _{c}^{b}\mathrm {d} f.}

La première formule se démontre comme dans le cas où g est continûment dérivable. La deuxième s'en déduit grâce au théorème d'intégration par parties. Un corollaire de cette deuxième formule est : si h est intégrable sur [a, b] et si g est monotone, il existe un c ∈ [a, b] tel que

∫ a b g ( x ) h ( x )   d x = g ( a ) ∫ a c h ( x )   d x + g ( b ) ∫ c b h ( x ) d x . {\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)h(x)~\mathrm {d} x=g(a)\int _{a}^{c}h(x)~\mathrm {d} x+g(b)\int _{c}^{b}h(x)\mathrm {d} x.}

Si g est non seulement monotone mais décroissante positive, on peut la rendre nulle en b avant de lui appliquer ce corollaire (cela ne change pas la valeur de ∫b
a g(x)h(x) dx).

Notes et références

  1. ↑ (en) Tom M. Apostol, Mathematical Analysis, Pearson, , 2e éd., p. 141-142 (Def. 7.1 et Note), donne une autre définition : pour tout réel ε > 0, il existe une subdivision Pε de [a, b] telle que pour tout raffinement P = (xi) de Pε et tout marquage (ξi) de P, | ∑ i = 1 n f ( ξ i ) ( g ( x i ) − g ( x i − 1 ) ) − S | ≤ ε {\displaystyle \left|\sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i}){\bigl (}g(x_{i})-g(x_{i-1}){\bigr )}-S\right|\leq \varepsilon } , et souligne qu'elle n'est pas équivalente à celle donnée ici. Son contre-exemple (p. 174, exercice 7.3.b) est f = χ]c, b], g = χ[c, b].
  2. ↑ (en) Einar Hille et Ralph S. Phillips, Functional Analysis and Semi-groups, vol. 1, AMS, (1re éd. 1957) (lire en ligne), p. 62.
  3. ↑ (en) Jie Xiao, Integral and Functional Analysis, Nova Science Publishers, , 287 p. (ISBN 978-1-60021-784-5, lire en ligne), p. 54.
  4. ↑ (en) Hugh L. Montgomery et R. C. Vaughan, Multiplicative Number Theory I : Classical Theory, Cambridge (GB), CUP, , 552 p. (ISBN 978-0-521-84903-6, lire en ligne), « Appendix A: The Riemann–Stieltjes integral », p. 486.
  5. ↑ (en) Norman B. Haaser et Joseph A. Sullivan, Real Analysis, Dover, (présentation en ligne), p. 255.
  6. ↑ Hille et Phillips 1996, p. 63.
  7. ↑ Xiao 2008, p. 60.

Voir aussi

Articles connexes

Bibliographie

  • (en) H. Jeffreys et B. S. Jeffreys, Methods of Mathematical Physics, CUP, , 3e éd., 718 p. (ISBN 978-0-521-66402-8, lire en ligne), chap. 1, §10 (« Integration: Riemann, Stieltjes »), p. 26-36
  • (en) H. Kestelman, Modern Theories of Integration, New York, Dover Publications, , chap. 11 (« Riemann-Stieltjes Integration »), p. 247-269
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