Module artinien

En théorie des anneaux, un module artinien (du nom d'Emil Artin) est un module vérifiant la condition de chaîne descendante.

Définition

On dit qu'un module M vérifie la condition de chaîne descendante si toute suite décroissante de sous-modules de M est stationnaire. Cela équivaut à dire que tout ensemble non vide de sous-modules de M admet un élément minimal (pour la relation d'inclusion).

Exemples

Tout module fini est artinien. En particulier, tout groupe abélien fini est artinien (en tant que ℤ-module).
Tout espace vectoriel de dimension finie sur un corps k est artinien comme k-module.
Soit p un nombre premier. Dans le groupe quotient ℚ/ℤ, le sous-groupe formé par les éléments ayant pour ordres des puissances de p, autrement dit le p-groupe de Prüfer, est un ℤ-module artinien (ses sous-groupes sont lui-même ou des groupes finis).
Tout anneau artinien A est (par définition) un A-module artinien.

Propriétés

La classe des modules artiniens (sur un anneau donné) est stable par quotient et somme directe finie.
Si 0 → L → M → N→ 0 est une suite exacte de modules, alors M est artinien si et seulement si L et N le sont.
Tout endomorphisme injectif d'un module artinien est bijectif.
Un module est à la fois artinien et noethérien si et seulement s'il est de longueur finie.

Référence

(en) M. F. Atiyah et I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison–Wesley, 1969, chap. 6

v · m Théorie des anneaux
Structures	Anneau unitaire Pseudo-anneau Demi-anneau Anneau commutatif Anneau de polynômes Ordre Algèbre de Weyl Idéal Corps des fractions Module sur un anneau Algèbre sur un anneau Catégorie des anneaux Spectre
Propriétés arithmétiques	Anneau adélique Anneau local Anneau de Dedekind (non commutatif) Anneau sans diviseur de zéro Anneau principal (non commutatif) Anneau euclidien (non commutatif) Anneau factoriel Anneau à PGCD Anneau de Bézout Anneau de Schreier Anneau de Goldman Anneau intègre Anneau de valuation discrète Anneau d'Ore Anneau réduit Idéal premier Idéal maximal Idéal primaire Idéal primitif (en)
Chaînes d'idéaux	Anneau noethérien Anneau artinien Anneau de Jaffard Anneau cohérent Anneau de Goldie Anneau de Jacobson Anneau de Gorenstein (en) Anneau caténaire (en)
Mesures	Dimension de Krull Dimension homologique Longueur d'un module Profondeur d'un module
Modules	Catégorie des modules Module de type fini Module simple Module semi-simple Module monogène Module libre Module quotient Facteur direct Dual d'un module Annulateur Produit tensoriel Puissance extérieure Bimodule Module artinien Anneau de Cohen-Macaulay (en) Anneau des entiers
Fonctorialité	Anneau d'Hermite Module projectif Module injectif Module plat Module fidèle Anneau régulier
Opérations	Morphisme d'anneaux Localisation Somme directe Produit tensoriel Représentation Quotient Extension d'anneau (en) Radical d'un idéal Nilradical Radical de Jacobson Going up et going down