Polynôme de Lommel

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Les polynômes de Lommel, Rm,ν(z), introduits par Eugen von Lommel en 1871, sont des polynômes en 1/z vérifiant la relation suivante:

J m + ν ( z ) = J ν ( z ) R m , ν ( z ) − J ν − 1 ( z ) R m − 1 , ν + 1 ( z ) {\displaystyle \displaystyle J_{m+\nu }(z)=J_{\nu }(z)R_{m,\nu }(z)-J_{\nu -1}(z)R_{m-1,\nu +1}(z)}

où Jν(z) est la fonction de Bessel du premier ordre.

Ils sont donnés explicitement par

R m , ν = ∑ n = 0 [ m / 2 ] ( − 1 ) m ( m − n ) ! Γ ( ν + m − n ) n ! ( m − 2 n ) ! Γ ( ν + n ) ( z / 2 ) 2 n − m . {\displaystyle R_{m,\nu }=\sum _{n=0}^{[m/2]}{\frac {(-1)^{m}(m-n)!\Gamma (\nu +m-n)}{n!(m-2n)!\Gamma (\nu +n)}}(z/2)^{2n-m}.}

où Γ désigne la fonction gamma. Ils sont utilisés en tant qu'outil de démonstration en théorie de la transcendance.

Voir aussi

Références

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Lommel polynomial » (voir la liste des auteurs).
  • (en) Arthur Erdélyi (en), Wilhelm Magnus, Fritz Oberhettinger (de) et Francesco Tricomi, Higher transcendental functions. Vol II, New York-Toronto-London, McGraw-Hill Book Company, , lien Math Reviews
  • (en) A. B. Ivanov, « Lommel polynomial », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)
  • (de) Eugen von Lommel, « Zur Theorie der Bessel'schen Functionen », Mathematische Annalen, vol. 4, no 1,‎ , p. 103–116 (lire en ligne)
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