Primitives de fonctions trigonométriques

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Cet article donne les primitives de fonctions trigonométriques.

${\displaystyle \int \sin(ax+b)\,dx=-{\frac {1}{a}}\cos(ax+b)+C}$

${\displaystyle \int \cos(ax+b)\,dx={\frac {1}{a}}\sin(ax+b)+C}$

${\displaystyle \int \tan(ax)\,dx=-{\frac {1}{a}}\ln |\cos(ax)|+C={\frac {1}{a}}\ln |\sec(ax)|+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {cot} (ax)\,dx={\frac {1}{a}}\ln |\sin(ax)|+C}$

${\displaystyle \int \sin x\,\mathrm {d} x=-\cos x+C}$

${\displaystyle \int \cos x\,\mathrm {d} x=\sin x+C}$

${\displaystyle \int \tan x\,\mathrm {d} x=-\ln |\cos x|+C=\ln |\sec x|+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {cot} x\,\mathrm {d} x=\ln |\sin x|+C=-\ln |\operatorname {csc} x|+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {csc} x\,\mathrm {d} x=\int {\frac {1}{\sin x}}\,\mathrm {d} x=\ln \left|\tan {\frac {x}{2}}\right|+C=-\ln |\operatorname {csc} x+\operatorname {cot} x|+C}$

${\displaystyle \int \sec x\,\mathrm {d} x=\int {\frac {1}{\cos x}}\,\mathrm {d} x=\ln \left|\tan \left({\frac {x}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|+C=\ln {\left|\sec x+\tan x\right|}+C}$

L'expression log(tan(x/2 + π/4)) fut d'abord découverte par hasard, en comparant les premières tables de logarithmes des tangentes avec des tables nautiques (d'intégrales définies de la fonction sécante) calculées en 1599 par Edward Wright, mais la coïncidence resta inexpliquée jusqu'à l'invention du calcul infinitésimal^[1].

Note et référence

Voir aussi

• Fonction de Gudermann
• Intégrale de la fonction sécante (en)
• Projection de Mercator
• Règles de Bioche

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