Rationnel de Gauss

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En mathématiques, un rationnel de Gauss^{[réf. nécessaire]} est un nombre complexe dont les parties réelle et imaginaire sont des nombres rationnels.

L'ensemble des rationnels de Gauss est donc

${\displaystyle \{p+q\mathrm {i} \mid (p,q)\in \mathbb {Q} ^{2}\}.}$

C'est un sous-corps de ℂ, généralement noté ℚ(i) ou ℚ[i].

Ces nombres tirent leur nom du mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss.

Propriétés

• ℚ(i) est le corps de rupture du polynôme X² + 1 sur ℚ. C'est donc un corps quadratique imaginaire et un corps cyclotomique.
• L'anneau des entiers de ℚ(i) est l'anneau ℤ[i] des entiers de Gauss. Son discriminant est –4^[1].
• ℚ(i) n'est ni un corps totalement ordonnable, ni un espace complet pour la distance euclidienne usuelle, associée au module d'un nombre complexe (ou même pour n'importe quelle valeur absolue non triviale^[2]).

Notes et références

• Arithmétique et théorie des nombres