Relation de dispersion

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En physique théorique, une relation de dispersion est une relation entre la pulsation ω {\displaystyle \omega } et le vecteur d'onde k → {\displaystyle {\vec {k}}} d'une onde monochromatique.

Par extension, la dualité onde-corpuscule de la physique quantique conduit à l'introduction de relation de dispersion pour une particule, comme relation entre son énergie E {\displaystyle E} et sa quantité de mouvement p → {\displaystyle {\vec {p}}} .

Exemples

Onde monochromatique de célérité c dans un milieu non dispersif

Un milieu non dispersif est caractérisé par un indice n {\displaystyle n} indépendant de la pulsation. La relation de dispersion s'écrit

ω = c n ‖ k → ‖ . {\displaystyle \omega ={\frac {c}{n}}\Vert {\vec {\textbf {k}}}\Vert .}
avec k → {\displaystyle {\vec {\textbf {k}}}} le vecteur d'onde. La vitesse de phase est alors constante, V φ = ω ‖ k → ‖ = c n {\textstyle V_{\varphi }={\dfrac {\omega }{\Vert {\vec {\textbf {k}}}\Vert }}={\dfrac {c}{n}}} , et est égale à la vitesse de groupe :
V g = d d ‖ k → ‖ ω = c n . {\displaystyle V_{g}={\dfrac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}\Vert {\vec {\textbf {k}}}\Vert }}\omega ={\dfrac {c}{n}}.}

Onde monochromatique de célérité c dans un milieu dispersif

Dans un milieu dispersif, l'indice optique n {\displaystyle n} dépend de la pulsation ω {\displaystyle \omega } . La relation de dispersion devient

ω = c n ( ω ) ‖ k → ‖ {\displaystyle \omega ={\frac {c}{n(\omega )}}\Vert {\vec {\textbf {k}}}\Vert }
avec k → {\displaystyle {\vec {\textbf {k}}}} le vecteur d'onde. La vitesse de phase dépend alors explicitement de la pulsation, soit :
V φ = ω ‖ k → ‖ = c n ( ω ) {\displaystyle V_{\varphi }={\dfrac {\omega }{\Vert {\vec {\textbf {k}}}\Vert }}={\dfrac {c}{n(\omega )}}}
La vitesse de groupe n'est en général plus égale à la vitesse de phase, mais lui est reliée par la relation de Rayleigh :
V g = d d ‖ k → ‖ ω = d d ‖ k → ‖ ( ‖ k → ‖ V φ ) = V φ + ‖ k → ‖ d d ‖ k → ‖ V φ {\displaystyle V_{g}={\dfrac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}\Vert {\vec {\textbf {k}}}\Vert }}\omega ={\dfrac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}\Vert {\vec {\textbf {k}}}\Vert }}(\Vert {\vec {\textbf {k}}}\Vert V_{\varphi })=V_{\varphi }+\Vert {\vec {\textbf {k}}}\Vert {\frac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}\Vert {\vec {\textbf {k}}}\Vert }}V_{\varphi }}

Particule non relativiste de masse m

En notant : p = | | p → | | {\displaystyle p=||{\vec {p}}||} , la relation de dispersion s'écrit :

E   =   p 2 2 m + m c 2 {\displaystyle E\ =\ {\frac {p^{2}}{2m}}+mc^{2}}

Particule relativiste de masse m

La relation d'Einstein[1],[2],[3] est la relation de dispersion relativiste[4],[5] obtenue à partir du carré la norme du quadrivecteur énergie-quantité de mouvement[6].

Elle est donnée par :

E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4 {\displaystyle E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}} ,

d'où, pour une particule de masse m {\displaystyle m} non nulle :

E   =   p 2 c 2   +   m 2 c 4   {\displaystyle E\ =\ {\sqrt {p^{2}\,c^{2}\ +\ m^{2}\,c^{4}\ }}}

Particule relativiste de masse nulle

E   =   p c {\displaystyle E\ =\ p\,c}

Notes et références

  1. ↑ Gourgoulhon 2010, § 9.1.2, p. 277.
  2. ↑ Semay et Silvestre-Brac 2021, § 9.3, p. 173.
  3. ↑ Vafa 2021, § 1.7, p. 14.
  4. ↑ Cohen-Tannoudji, Dupont-Roc et Grynberg 2001, complément AIV.1, p. 411.
  5. ↑ Karevski 2022, § 3.2.2, p. 212.
  6. ↑ Taillet, Villain et Febvre 2018, s.v. quadrivecteur énergie-quantité de mouvement, p. 609, col. 2.

Voir aussi

Bibliographie

  • [Cohen-Tannoudji, Dupont-Roc et Grynberg 2001] Claude Cohen-Tannoudji, Jacques Dupont-Roc et Gilbert Grynberg, Photons et atomes : introduction à l'électrodynamique quantique, Les Ulis et Paris, EDP Sciences et CNRS, coll. « Savoirs actuels / physique », , 2e éd. (1re éd. ), 1 vol., XVI-473 p., 15,5 × 23 cm (ISBN 2-86883-535-X et 2-222-03966-5, EAN 9782868835352, OCLC 48459911, BNF 37714466, DOI 10.1051/978-2-7598-0135-0, SUDOC 007051026, présentation en ligne, lire en ligne).
  • [Gourgoulhon 2010] Éric Gourgoulhon (préf. Thibault Damour), Relativité restreinte : des particules à l'astrophysique, Les Ulis et Paris, EDP Sciences et CNRS, coll. « Savoirs actuels / physique », (réimpr. ), 1re éd., 1 vol., XXVI-776 p., 15,5 × 23 cm (ISBN 978-2-7598-0067-4 et 978-2-271-07018-0, EAN 9782759800674, OCLC 690639994, BNF 41411713, DOI 10.1051/978-2-7598-0923-3, SUDOC 14466514X, présentation en ligne, lire en ligne).
  • [Karevski 2022] Dragi Karevski, Physique quantique des champs et des transitions de phase, Paris, Ellipses, coll. « Références sciences », , 1re éd., 1 vol., 684 p., 19 × 24 cm (ISBN 978-2-340-06407-2, EAN 9782340064072, OCLC 1302196841, BNF 46970143, SUDOC 260823066, présentation en ligne, lire en ligne).
  • [Semay et Silvestre-Brac 2021] Claude Semay et Bernard Silvestre-Brac, Relativité restreinte : bases et application, Malakoff, Dunod, coll. « Sciences sup », , 4e éd. (1re éd. ), 1 vol., X-309 p., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-10-082836-4, EAN 9782100828364, OCLC 1286364270, BNF 46915115, SUDOC 258655097, présentation en ligne, lire en ligne).
  • [Taillet, Villain et Febvre 2018] Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique, Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur, hors coll., , 4e éd. (1re éd. ), 1 vol., X-956 p., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-8073-0744-5, EAN 9782807307445, OCLC 1022951339, BNF 45646901, SUDOC 224228161, présentation en ligne, lire en ligne).
  • [Vafa 2021] Cumrun Vafa (trad. de l'anglais par Michel Le Bellac, préf. Étienne Klein), L'Univers décrypté par les énigmes [« Puzzles to unravel the Universe »], Les Ulis, EDP Sciences, coll. « Une introduction à », , 1re éd., 1 vol., XVI-218 p., 16 × 24 cm (ISBN 978-2-7598-2594-3, EAN 9782759825943, OCLC 1282197253, BNF 46879352, SUDOC 258258314, présentation en ligne, lire en ligne).

Articles connexes

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