Série de Riemann

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Ne doit pas être confondu avec Somme de Riemann.

Pour α un nombre complexe, on appelle série de Riemann la série suivante : S = ∑ n ≥ 1 1 n α {\displaystyle S=\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n^{\alpha }}}} .

La série harmonique en est un cas particulier, pour α = 1 : ∑ n ≥ 1 1 n = 1 + 1 2 + 1 3 + ⋯ + 1 n + … {\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}+\ldots }

Convergence

La série de Riemann de paramètre complexe α converge absolument si Re(α) > 1, et diverge si Re(α) ≤ 1.

En effet :

  • si Re(α) ≤ 0, la série est grossièrement divergente ;
  • la preuve de la convergence absolue pour Re(α) > 1 peut se faire par comparaison série-intégrale avec l'intégrale impropre associée :
    ∫ 1 + ∞ d t t α   ; {\displaystyle \int _{1}^{+\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{t^{\alpha }}}~;}
  • celle de la divergence pour α ∈ ]0, 1] également ;
  • si α = σ + it avec σ ∈ ]0, 1] et t réel non nul, il suffit d'affiner un peu la méthode.

Valeurs particulières

On sait calculer explicitement la somme de la série de Riemann pour tout α entier pair supérieur ou égal à 2. Une observation assez frappante est que ces sommes sont toutes de la forme suivante, pour p entier naturel non nul :

∑ n = 1 + ∞ 1 n 2 p = r p π 2 p {\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }{1 \over n^{2\,p}}=r_{p}\,\pi ^{2\,p}} , où r p {\displaystyle r_{p}} est un nombre rationnel (voir Nombre de Bernoulli).

Par exemple ∑ n = 1 + ∞ 1 n 2 = π 2 6 , ∑ n = 1 + ∞ 1 n 4 = π 4 90 , ∑ n = 1 + ∞ 1 n 6 = π 6 945 , ∑ n = 1 + ∞ 1 n 8 = π 8 9450 . {\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }{1 \over n^{2}}={\frac {\pi ^{2}}{6}},\quad \sum _{n=1}^{+\infty }{1 \over n^{4}}={\frac {\pi ^{4}}{90}},\quad \sum _{n=1}^{+\infty }{1 \over n^{6}}={\frac {\pi ^{6}}{945}},\quad \sum _{n=1}^{+\infty }{1 \over n^{8}}={\frac {\pi ^{8}}{9450}}.}

En revanche, on ne sait rien concernant les valeurs prises pour α entier impair, hormis que pour α = 3, la somme, appelée constante d'Apéry, est irrationnelle (démontré par Roger Apéry en 1978).

Fonction zêta de Riemann

Article détaillé : Fonction zêta de Riemann.

La fonction zêta de Riemann ζ est définie sur le demi-plan des nombres complexes de partie réelle strictement supérieure à 1 par la série convergente :

ζ ( s )   =   ∑ n = 1 ∞   1 n s . {\displaystyle \zeta (s)\ =\ \sum _{n=1}^{\infty }\ {\frac {1}{n^{s}}}.}

Il s'agit d'une fonction holomorphe sur ce demi-plan.

Elle intervient dans l’étude de la répartition des nombres premiers dans le cadre de l’hypothèse de Riemann.

Généralisations

  • Les séries de Bertrand, de la forme ∑ 1 n α ( ln ⁡ n ) β . {\displaystyle \sum {1 \over n^{\alpha }\,(\ln n)^{\beta }}.}
  • Les séries de Dirichlet, de la forme ∑ a n n α . {\displaystyle \sum {a_{n} \over n^{\alpha }}.}
  • Les séries de Riemann multiples, de la forme ∑ n 1 , ⋯ , n k > 0 1 ( n 1 2 + n 2 2 + … + n k 2 ) α / 2 , {\displaystyle \sum _{n_{1},\cdots ,n_{k}>0}{\frac {1}{(n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+\ldots +n_{k}^{2})^{\alpha /2}}},} Il y a convergence absolue si et seulement si Re(α) > k.

Voir aussi

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