Théorème d'Erdős-Wintner

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Le théorème d'Erdős-Wintner est un résultat mathématique, appartenant à la théorie probabiliste des nombres, qui caractérise les fonctions additives possédant une loi limite. La condition suffisante de ce résultat a été prouvée par Paul Erdős en trois étapes (1935/37/38) et la condition nécessaire a été obtenue par Erdős et Aurel Wintner en 1939^[1]. En un certain sens, ce théorème est l'analogue du théorème des trois séries de Kolmogorov en théorie des probabilités.

Loi limite

On dit qu'une fonction arithmétique $f$ possède une fonction de répartition $F$ (ou bien : possède une loi limite de répartition $F$ ) si la suite de fonctions de répartition ${\textstyle (F_{N})_{N\geqslant 1}}$ définie par

F_{N}(z):={\frac {1}{N}}\left|\left\{n\leqslant N:f(n)\leqslant z\right\}\right|\qquad (z\in \mathbb {R} )

converge faiblement (ou bien simplement) vers

F

et si

F

est une fonction de répartition.

Dans ce cas, on dira plus simplement que $f$ possède une loi limite.

Énoncé du théorème

L'énoncé suivant s'inspire fortement du livre^[1] écrit par Tenenbaum. Dans la suite, on désignera par la lettre $p$ tout nombre premier.

Une fonction additive réelle $f$ possède une loi limite si, et seulement si, les trois séries

\sum _{|f(p)|>R}\,{\frac {1}{p}},\qquad \sum _{|f(p)|\leqslant R}\,{\frac {f(p)}{p}}\qquad \mathrm {et} \qquad \sum _{|f(p)|\leqslant R}\,{\frac {f(p)^{2}}{p}}

sont simultanément convergentes pour au moins une valeur du nombre réel positif $R$ .

Lorsque ces conditions sont remplies, la fonction caractéristique de la loi limite est donnée par le produit convergent

\prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)\sum _{\nu \geqslant 0}{\frac {\mathrm {e} ^{i\tau f(p^{\nu })}}{p^{\nu }}}\qquad (\tau \in \mathbb {R} ).

Référence

↑ ^{a et b} Gérald Tenenbaum, Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres, Paris, Belin, dl 2015, 592 p. (ISBN 978-2-7011-9656-5, OCLC 933777932)