Théorème de Hardy-Ramanujan
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En mathématiques et plus précisément en théorie des nombres, le théorème de Hardy-Ramanujan[1], démontré par G. H. Hardy et S. Ramanujan en 1917, énonce que est un ordre normal du nombre de facteurs premiers distincts d'un entier naturel , où désigne la fonction logarithme naturel.
Cela signifie que la plupart des nombres ont environ ce nombre de facteurs premiers distincts. Par exemple, le nombre de facteurs premiers d'un entier inférieur à un milliard est
Énoncé
Une version plus précise indique que, pour toute fonction à valeurs réelles qui tend vers l'infini quand n → , on a :
Cette relation n'est pas valable que pour une proportion infinitésimale de nombres réels. Si désigne le nombre d'entiers naturels inférieurs à pour lesquels l'inégalité ci-dessus n'est pas valide : alors converge vers zéro lorsque tend vers l'infini.
Preuve
Une autre preuve a été donnée par Pál Turán en 1934. La mathématicien a utilisé le crible de Turán afin de prouver la majoration :
Ordre moyen
G. H. Hardy et S. Ramanujan ont aussi montré l'équivalence suivante[2]:
On dit alors que est un ordre moyen de .
Généralisations
Les mêmes résultats sont vrais pour , le nombre de facteurs premiers de n comptés avec multiplicité. Ce théorème est généralisé par le théorème d'Erdős–Kac, qui montre que est essentiellement normalement distribué.
Voir aussi
- Wentang Kuo, Yu-Ru Liu, « The Erdős–Kac theorem and its generalizations », in Jean-Marie De Koninck, Andrew Granville, Florian Luca (éd.), Anatomy of integers. D'après l'atelier CRM, Montréal, Canada, 13-, Actes de CRM et notes de cours, 46, Providence, RI: American Mathematical Society, pp. 209-216, 2008 (ISBN 978-0-8218-4406-9), lien Zentralblatt MATH
- Pál Turán, « On a theorem of Hardy and Ramanujan », Journal de la London Mathematical Society, 9 (4): 274-276, doi : 10.1112 / jlms / s1-9.4.274, 1934 (ISSN 0024-6107), {$lien Zentralblatt MATH
- (en) « Hardy-Ramanujan theorem », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)
Références
- ↑ (en) G. H. Hardy et S. Ramanujan, « The normal number of prime factors of a number n », Quarterly Journal of Mathematics, (lire en ligne)
- ↑ J. Mathieu, « Théorie probabiliste des nombres : les théorèmes fondateurs », (consulté le )
- Arithmétique et théorie des nombres