Théorème de projection sur un convexe fermé

• Existence et unicité de P_C(x) vérifiant (1) :
  Soient δ la distance entre x et C et pour tout entier n > 0, F_n l'intersection de C et de la boule fermée de centre x et de rayon δ + 1/n. D'après le théorème des fermés emboîtés, il suffit de démontrer que le diamètre de F_n tend vers 0. Or si y et z sont deux points de F_n, d'après l'identité du parallélogramme,${\displaystyle 4(\delta +1/n)^{2}\geq 2\|y-x\|^{2}+2\|z-x\|^{2}=\|y+z-2x\|^{2}+\|y-z\|^{2},}$ce qui se réécrit :${\displaystyle \|y-z\|^{2}\leq 4(\delta +1/n)^{2}-4\left\|{\frac {y+z}{2}}-x\right\|^{2}.}$En remarquant que le milieu de y et z est un point de C donc à une distance supérieure ou égale à δ de x, on obtient :${\displaystyle \|y-z\|^{2}\leq 4(\delta +1/n)^{2}-4\delta ^{2}={\frac {8\delta }{n}}+{\frac {4}{n^{2}}},}$ce qui conclut.
• (1) implique (2) :
  Soient y un élément de C et θ un réel compris entre 0 et 1, alors le barycentre θ y + (1 – θ) P_C(x), élément de C, est plus éloigné de x que P_C(x), d'après la propriété (1), donc :${\displaystyle \|x-P_{C}(x)\|^{2}\leq \|x-P_{C}(x)-\theta (y-P_{C}(x))\|^{2}}$On en déduit la majoration :${\displaystyle 2\theta \ \langle x-P_{C}(x)\,,\,y-P_{C}(x)\rangle \leq \theta ^{2}\|y-P_{C}(x)\|^{2}}$Il suffit alors de diviser par θ puis de passer à la limite quand θ tend vers 0 (par valeurs strictement positives) pour obtenir le résultat.
• (2) implique (1) :${\displaystyle \|x-y\|^{2}=\|x-P_{C}(x)\|^{2}-2\langle x-P_{C}(x)\,,\,y-P_{C}(x)\rangle +\|y-P_{C}(x)\|^{2}\geq \|x-P_{C}(x)\|^{2}.}$Remarquons qu'ici, la convexité de C n'est pas utile.

• L'application P_C est idempotente : En effet, si x est un élément de E, P_C(x) est élément du convexe C, son image est donc lui-même.
• L'application P_C est « monotone » : C'est une conséquence directe du fait que 〈P_C(x₁) – x₁, P_C(x₁) – P_C(x₂)〉 et 〈P_C(x₂) – x₂, P_C(x₂) – P_C(x₁)〉 sont tous deux négatifs ou nuls. En sommant ces deux inégalités on obtient que${\displaystyle \langle P_{C}(x_{1})-P_{C}(x_{2}),x_{1}-x_{2}\rangle \geq \|P_{C}(x_{1})-P_{C}(x_{2})\|^{2}\geq 0.}$
• L'application P_C est 1-lipschitzienne : se déduit aussi de la minoration ci-dessus, grâce à l'inégalité de Cauchy-Schwarz.

Pour démontrer les théorèmes de séparation, montrons tout d'abord un résultat préliminaire (qui est, dans les deux théorèmes, le cas particulier où B est un singleton)  :

• Soient C un convexe fermé non vide de E et x un élément de E hors de C. Alors il existe une forme linéaire continue f telle que${\displaystyle f(x)>\sup _{y\in C}f(y)}$.Soient P_C la projection sur C et f la forme linéaire définie par :${\displaystyle \forall y\in E\quad f(y)=\langle x-P_{C}(x),y\rangle }$.La deuxième caractérisation du projecteur montre que${\displaystyle \sup _{y\in C}f(y)\leq f(P_{C}(x))}$.D'autre part, les vecteurs x et P_C(x) ne sont pas confondus car x n'est pas élément de C, par conséquent le carré de la norme de leur différence est strictement positif, d'où :${\displaystyle f(P_{C}(x))<f(x)\,}$,ce qui démontre le résultat préliminaire.
• Soient A et B deux parties de E non vides et disjointes telles que A – B soit un convexe fermé. Il existe alors une forme linéaire continue f telle que${\displaystyle \sup _{x\in A}f(x)<\inf _{y\in B}f(y)}$.L'ensemble A – B est un convexe fermé non vide ne contenant pas le vecteur nul. Le résultat précédent montre l'existence d'une forme f telle que${\displaystyle \sup _{x\in A\;y\in B}f(x)-f(y)<0,}$ce qui démontre la proposition.
• Le résultat précédent reste vrai si A est un convexe fermé et B un convexe compact.
  Montrons que A – B est fermé. Soit c un élément de l'adhérence de cet ensemble, alors${\displaystyle 0=d(c,A-B)=\inf _{a\in A}d(a,c+B).}$Par compacité de A et continuité de l'application qui à tout a associe d(a, c + B), il existe donc un élément a de A tel que${\displaystyle 0=d(a,c+B)=d(a-c,B).}$Comme B est fermé, il contient alors a – c, donc c appartient à A – B.
  Ceci démontre que A – B est fermé. Les hypothèses de la proposition précédente sont rassemblées car A – B est convexe ; elles permettent de conclure.
• Si E est de dimension finie, soient x un élément de E et C un convexe ne contenant pas x, alors il existe une forme linéaire non nulle f telle que :${\displaystyle \forall y\in C,\qquad f(x)\geq f(y).}$Pour tout élément y de C, notons T_y l'ensemble des formes linéaires f de norme 1 telles que f(x) – f(y) soit positif ou nul. L'objectif est donc de montrer que l'intersection de tous ces T_y est non vide. Or la sphère unité des formes linéaires est compacte car la dimension est finie, et chaque T_y est un fermé de ce compact (comme image réciproque d'un fermé par une application continue). D'après la propriété de Borel-Lebesgue, pour montrer que l'intersection des T_y est non vide, il suffit donc de montrer que pour toute partie finie non vide D de C, l'intersection des T_y quand y varie dans D est non vide.
  Soit K l'enveloppe convexe d'une telle partie finie D. Elle forme un convexe fermé non vide et ne contient pas x. Le résultat préliminaire montre l'existence d'une forme linéaire f telle que f(x) > f(y) pour tout y dans K, en particulier pour tout y dans D, ce qui termine la démonstration.