Théorème de von Staudt-Clausen

En théorie des nombres, le théorème de von Staudt-Clausen est un résultat sur la partie fractionnaire des nombres de Bernoulli non entiers.

Précisément, si n = 2k est un entier pair non nul et si l'on ajoute 1⁄p à Bn pour tous les nombres premiers p tel que p – 1 divise n, on obtient un nombre entier :

B 2 k + ∑ ( p − 1 ) | 2 k 1 p ∈ Z . {\displaystyle B_{2k}+\sum _{(p-1)|2k}{\frac {1}{p}}\quad \in \mathbb {Z} .}

La propriété est également vérifiée pour n = 1 : B1 + 1⁄2 = 0. (Pour les autres nombres de Bernoulli d'indice impair, on obtient 1⁄2.)

Par conséquent, les nombres de Bernoulli non nuls de rang pair B2k (k ≥ 1) s'écrivent :

B 2 k = A 2 k − ∑ ( p − 1 ) | 2 k 1 p {\displaystyle B_{2k}=A_{2k}-\sum _{(p-1)|2k}{\frac {1}{p}}}

où A2k est un nombre entier.

Ce fait permet immédiatement de caractériser les dénominateurs des nombres de Bernoulli Bn non entiers comme le produit de tous les nombres premiers p tel que p – 1 divise n ; par conséquent, les dénominateurs sont sans carré et, si n est pair, divisibles par 6.

Le résultat fut nommé ainsi en l'honneur de Karl von Staudt et Thomas Clausen, qui l'ont découvert indépendamment en 1840.

Exemples

b 1 = 0 − 1 2 {\displaystyle b_{1}=0-{\frac {1}{2}}}

b 2 = 1 − 1 2 − 1 3 = 1 6 {\displaystyle b_{2}=1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}={\frac {1}{6}}}

b 4 = 1 − 1 2 − 1 3 − 1 5 = − 1 30 {\displaystyle b_{4}=1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{5}}=-{\frac {1}{30}}}

b 6 = 1 − 1 2 − 1 3 − 1 7 = 1 42 {\displaystyle b_{6}=1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{7}}={\frac {1}{42}}}

( b 8 = b 4 ) {\displaystyle (b_{8}=b_{4})}

b 10 = 1 − 1 2 − 1 3 − 1 11 = 5 66 {\displaystyle b_{10}=1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{11}}={\frac {5}{66}}}

b 12 = 1 − 1 2 − 1 3 − 1 5 − 1 7 − 1 13 = − 691 2 730 {\displaystyle b_{12}=1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{13}}=-{\frac {691}{2\;730}}}

b 14 = 2 − 1 2 − 1 3 = 7 6 {\displaystyle b_{14}=2-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}={\frac {7}{6}}} ( b 14 = b 2 + 1 ) {\displaystyle (b_{14}=b_{2}+1)}

b 16 = − 6 − 1 2 − 1 3 − 1 5 − 1 17 = − 3 617 510 {\displaystyle b_{16}=-6-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{17}}=-{\frac {3\;617}{510}}}

b 18 = 56 − 1 2 − 1 3 − 1 7 − 1 19 = 43 867 798 {\displaystyle b_{18}=56-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{19}}={\frac {43\;867}{798}}}

b 20 = − 528 − 1 2 − 1 3 − 1 5 − 1 11 = − 174 611 330 {\displaystyle b_{20}=-528-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{11}}=-{\frac {174\;611}{330}}}

b 22 = 6 193 − 1 2 − 1 3 − 1 23 = 854 513 138 {\displaystyle b_{22}=6\;193-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{23}}={\frac {854\;513}{138}}}

b 24 = − 86 579 − 1 2 − 1 3 − 1 5 − 1 7 − 1 13 = − 236 364 091 2 730 {\displaystyle b_{24}=-86\;579-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{13}}=-{\frac {236\;364\;091}{2\;730}}}

( b 24 = − 86 580 + b 12 ) {\displaystyle (b_{24}=-86\;580+b_{12})}

Bibliographie

  • Z. I. Borevitch (en) et I. R. Chafarevitch, Théorie des nombres, Gauthier-Villars, 1966, p. 431-433
  • N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Fonctions d'une variable réelle, nouvelle édition, 1971, VI, p. 24
  • G. H. Hardy et E. M. Wright, Introduction à la théorie des nombres [détail des éditions], théorème 118
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