Théorie de jauge

Pour les articles homonymes, voir Jauge.

En physique théorique, une théorie de jauge est une théorie des champs basée sur un groupe de symétrie locale, appelé groupe de jauge, définissant une « invariance de jauge ». Le prototype le plus simple de théorie de jauge est l'électrodynamique classique de Maxwell.

L'expression « invariance de jauge » a été introduite en 1918 par le mathématicien et physicien Hermann Weyl.

Historique

La première théorie des champs à avoir une symétrie de jauge était la formulation de l'électrodynamisme de Maxwell en 1864 dans A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field (en). L'importance de cette symétrie est restée inaperçue dans les premières formulations. De façon similaire, Hilbert a redérivé l'équation d'Einstein en postulant l'invariance de l'action sous une transformation des coordonnées. Plus tard, lorsque Hermann Weyl a tenté d'unifier la relativité générale ainsi que l'électromagnétisme, il a émis l'hypothèse que l'invariance sous un changement d'échelle (ou de « jauge ») serait en fait une symétrie locale de la relativité générale. Suivant le développement de la mécanique quantique, Weyl, Vladimir Fock et Fritz London ont modifié la jauge en remplaçant le facteur d'échelle par un nombre complexe, transformant ainsi le changement d'échelle en un changement de phase, ce qui est une symétrie de jauge en ${\displaystyle U(1)}$. Cela permettait d'expliquer l'effet qu'a un champ électromagnétique sur la fonction d'onde d'une particule quantique chargée. Cette transformation de jauge est reconnue comme étant la première théorie de jauge, popularisée par Pauli en 1941^[1].

Description mathématique

On considère un espace-temps classique modélisé par une variété différentielle lorentzienne à quatre dimensions, pas nécessairement courbe.

Champs de jauge et espaces fibrés

Les théories de champs de jauge dans l'espace-temps utilisent la notion d'espace fibré différentiel. Il s'agit encore d'une variété différentielle, mais de dimension plus grande que celle de l'espace-temps, qui joue ici le rôle d'espace de base du fibré.

On considère plus précisément un fibré principal, dont la fibre s'identifie au groupe de structure qui est un groupe de Lie précisant la symétrie de la théorie, appelée « invariance de jauge ».

Un champ de jauge ${\displaystyle A}$ y apparaît comme une connexion, et la forme de Yang-Mills associée ${\displaystyle F=\mathrm {d} A}$ comme la courbure associée à cette connexion.

Quelques groupes de Lie

Principaux groupes de Lie

• ${\displaystyle O(n)}$ est le groupe orthogonal sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ d'ordre ${\displaystyle n}$, c.-à-d. le groupe multiplicatif des matrices ${\displaystyle n\times n}$ réelles orthogonales (vérifiant ${\displaystyle ^{t}MM=I_{n}}$).
• ${\displaystyle SO(n)}$ est le groupe spécial orthogonal sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ d'ordre ${\displaystyle n}$, c.-à-d. le groupe multiplicatif des matrices ${\displaystyle n\times n}$ réelles orthogonales et de déterminant égal à 1 (${\displaystyle ^{t}MM=I_{n}}$ et ${\displaystyle \operatorname {det} M=1}$).
• ${\displaystyle U(n)}$ est le groupe unitaire sur ${\displaystyle \mathbb {C} }$ d'ordre ${\displaystyle n}$ , c.-à-d. le groupe multiplicatif des matrices ${\displaystyle n\times n}$ complexes unitaires (vérifiant ${\displaystyle M^{*}\!M=I_{n}}$).
• ${\displaystyle SU(n)}$ est le groupe spécial unitaire sur ${\displaystyle \mathbb {C} }$ d'ordre ${\displaystyle n}$ , c.-à-d. le groupe multiplicatif des matrices ${\displaystyle n\times n}$ complexes unitaires et de déterminant égal à 1 (${\displaystyle M^{*}\!M=I_{n}}$ et ${\displaystyle \operatorname {det} M=1}$).

Cas particuliers

• ${\displaystyle O(1)=\{1,-1\}}$
• ${\displaystyle SO(1)=\{1\}}$
• ${\displaystyle U(1)}$ est le cercle unité complexe. Il est égal à ${\displaystyle \exp(\mathrm {i} \mathbb {R} )}$.
• ${\displaystyle SO(2)}$ est isomorphe à ${\displaystyle U(1)}$ : c'est l'ensemble des rotations (vectorielles) du plan.
• ${\displaystyle SO(3)}$ est l'ensemble des rotations de l'espace à 3 dimensions.

Exemples physiques

Ont été démontrées pertinentes pour le monde réel :

• la théorie de jauge classique ${\displaystyle U(1)}$, qui s'identifie à la théorie électromagnétique de Maxwell. C'est une théorie abélienne, qui admet des extensions non abéliennes intéressantes appelées théories de Yang-Mills, basées sur les groupes non abéliens ${\displaystyle SU(n)}$.
• Après quantification, deux des théories de Yang-Mills constituent l'actuel « modèle standard » de la physique des particules :
  • le modèle électro-faible de Glashow, Salam et Weinberg est basé sur le groupe ${\displaystyle U(1)\times SU(2)}$ et décrit de façon unifiée l'électromagnétisme et l'interaction nucléaire faible;
  • la chromodynamique quantique est basée sur le groupe ${\displaystyle SU(3)}$, et décrit l'interaction nucléaire forte entre les quarks et les gluons.

Notes et références

Voir aussi

Bibliographie

Bibliothèques virtuelles

• Bertrand Delamotte, Un soupçon de théorie des groupes : groupe des rotations et groupe de Poincaré, cours d'introduction pour physiciens (prolégomènes à un cours de théorie quantique des champs) donné en 1995 par Bertrand Delamotte (Laboratoire de Physique Théorique et Hautes Énergies, Université Paris 7) au D.E.A. "Champs, Particules, Matières" , 127 pages

Aspects historiques

• (en) John D. Jackson et L. B. Okun, « Historical roots of gauge invariance », dans Review of Modern Physics 73 (2001), 663-680, texte intégral sur arXiv:hep-ph/0012061
• (en) Lochlainn O'Raifeartaigh, The Dawning of Gauge Theory, Princeton University Press, 1997 (ISBN 0-691-02977-6)
• (en) Tian Yu Cao, Conceptual Developpments of 20th Century Field Theories, Cambridge University Press, 1997 (ISBN 0-521-63420-2)

Ouvrages d'introduction à la théorie quantique des champs

• Michel Le Bellac, Des phénomènes critiques aux champs de jauge - Une introduction aux méthodes et aux applications de la théorie quantique des champs, InterEditions/Éditions du CNRS, 1988 (ISBN 2-86883-359-4), réédité par EDP Sciences

Ouvrages de mathématiques pour physiciens théoriciens

• Andrei Teleman, Introduction à la théorie de jauge, SMF, 2012.
• (en) Theodore Frankel, The Geometry of Physics - An introduction, Cambridge University Press, 1997 (ISBN 0-521-38753-1)
• (en) Mikio Nakahara, Geometry, Topology ans Physics, Institute of Physics Publishing, 1990 (ISBN 0-85274-095-6)
• (en) Charles Nash et Siddharta Sen, Topology & Geometry for Physicists, Academic Press, 1983 (ISBN 0-12-514080-0)
• (en) Yvonne Choquet-Bruhat et Cécile DeWitt-Morette, Analysis, Manifolds & Physics - Part I: Basics, North-Holland/Elsevier (2^e édition révisée - 1982) (ISBN 0-444-86017-7)

Ouvrages de physique pour mathématiciens

• Pierre Deligne et al., Quantum Fields and Strings: A Course for Mathematicians, AMS, 2000 (ISBN 0-8218-2014-1)

Articles connexes

• Effet Aharonov-Bohm
• Équation de Dirac
• Histoire de la théorie quantique des champs

Liens externes

• Dans sa chronique "le monde selon..." du 26/06/2014, diffusée sur France culture à 7h18, le physicien Étienne Klein fait référence à l'invariance de jauge, prenant pour illustration la trajectoire courbe d'un ballon de football lors d'un coup franc.

• Portail des mathématiques
• Portail de la physique