Bernoulli-féle differenciálegyenlet

Bernoulli-féle differenciálegyenletnek nevezzük azt a közönséges, egyismeretlenes, elsőrendű (${\displaystyle y\neq 0}$), nemlineáris differenciálegyenletet, mely

${\displaystyle y'+p(x)y=r(x)y^{n}\,}$, ahol ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,n\geq 2}$ (1) vagy ${\displaystyle {\frac {y'}{y^{n}}}+{\frac {p(x)}{y^{n-1}}}=r(x)}$ (1*) alakokban írható fel.

Az ${\displaystyle y^{1-n}\ =z(x)\,}$új ismeretlen függvény bevezetésével kapjuk, hogy:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} x}}=(1-n)y^{-n}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\,}$.

Az (1*) egyenlet a behelyettesítés után az

${\displaystyle {\frac {1}{1-n}}{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} x}}+p(x)z=r(x)\,}$

alakot veszi fel, amely a ${\displaystyle z(x)}$ függvényre nézve már elsőrendű, lineáris, inhomogén differenciálegyenlet, amelynek általános megoldása a következő:

${\displaystyle z=y^{1-n}=e^{(n-1)\int p(x)\,\mathrm {d} x}(C_{1}+(1-n)\int r(x)e^{(1-n)\int p(x)\mathrm {d} x}\mathrm {d} x)\,}$.

Így tehát az (1) differenciálegyenlet általános megoldása:

${\displaystyle y=e^{(-1)\int p(x)\,\mathrm {d} x}(C_{1}+(1-n)\int r(x)e^{(1-n)\int p(x)\mathrm {d} x}\mathrm {d} x)^{\frac {1}{1-n}}\,}$, (2)

ha n>0, akkor az y=0 függvény is megoldása (1)-nek.

Az egyenletet Jakob Bernoulliról (1655–1705) nevezték el.

Források

• A Bernoulli-féle differenciálegyenlet