Bilineáris forma

Egy bilineáris forma a lineáris algebrában egy kétváltozós függvény, ami két vektorhoz egy skalárt rendel, és mindkét változójában lineáris. A változók származhatnak közös ${\displaystyle K}$ test fölötti különböző ${\displaystyle V,W}$ vektorterekből. Egy bilineáris forma egy ${\displaystyle B\colon V\times W\to K}$ leképezés. Egy bilineáris forma mindkét változójában lineáris forma, ezért egy kétváltozós multilineáris forma.

Legyenek ${\displaystyle V,W}$ vektorterek ugyanazon ${\displaystyle K}$ test fölött. Általánosabban, legyen ${\displaystyle V}$ balmodulus és ${\displaystyle W}$ jobbmodulus ugyanazon gyűrű fölött.

Egy

${\displaystyle B\colon V\times W\to K,\quad (v,w)\mapsto B(v,w)=\langle v,w\rangle }$

leképezés bilineáris forma, hogyha mindkét változójában lineáris, ami azt jelenti, hogy

• ${\displaystyle \langle v_{1}+v_{2},w\rangle =\langle v_{1},w\rangle +\langle v_{2},w\rangle }$,
• ${\displaystyle \langle v,w_{1}+w_{2}\rangle =\langle v,w_{1}\rangle +\langle v,w_{2}\rangle }$,
• ${\displaystyle \langle \lambda v,w\rangle =\lambda \langle v,w\rangle }$,
• ${\displaystyle \langle v,w\lambda \rangle =\langle v,w\rangle \lambda }$.

ahol ${\displaystyle v,v_{1},v_{2}\in V}$, ${\displaystyle w,w_{1},w_{2}\in W}$ és ${\displaystyle \lambda \in K}$.

Egy ${\displaystyle B\colon V\times V\to K}$ lineáris formának a következő szimmetriatulajdonságai lehetnek:

Egy ${\displaystyle B}$ bilineáris forma szimmetrikus, ha

${\displaystyle B(x,y)=B(y,x)}$

minden ${\displaystyle x,y\in V}$-re.

A szimmetrikus bilineáris formulák esetén teljesül a ${\displaystyle 2\cdot B(x,y)=B(x+y,x+y)-B(x,x)-B(y,y)}$ polarizációs formula. Innen következik, hogy a szimmetrikus bilineáris formát egyértelműen meghatározzák a ${\displaystyle B(x,x),x\in V}$ értékei, ha a skalártest karakterisztikája 2-től különböző, ${\displaystyle (\operatorname {char} (K)\neq 2)}$.

Egy ${\displaystyle B}$ bilineáris forma alternáló, ha

${\displaystyle B(x,x)=0}$

minden ${\displaystyle x\in V}$-re.

Egy ${\displaystyle B}$ bilineáris forma antiszimmetrikus vagy ferdén szimmetrikus, ha

${\displaystyle B(x,y)=-B(y,x)}$

minden ${\displaystyle x,y\in V}$-re.

Minden alternáló bilineáris forma ferdén szimmetrikus. Ha ${\displaystyle \operatorname {char} (K)\neq 2}$, például ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ és ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$ esetén, akkor a megfordítás is teljesül: Minden antiszimmetrikus bilineáris forma alternáló. Általánosabban, kommutatív gyűrű fölötti modulusok esetén is ekvivalens a két tulajdonság, feltéve, ha a célmodulusnak nincs 2-torziója.

• Valós vektortéren értelmezett skalárszorzat egy nem elfajuló, szimmetrikus pozitív definit bilineáris forma.
• Egy komplex ${\displaystyle V}$ vektortéren értelmezett skalárszorzat nem bilineáris forma, hanem szeszkvilineáris forma. Ha a ${\displaystyle V}$ teret valós térként fogjuk fel, akkor

${\displaystyle V\times V\to \mathbb {R} ,\quad (x,y)\mapsto \operatorname {Re} B(x,y)}$ szimmetrikus bilineáris forma és

${\displaystyle V\times V\to \mathbb {R} ,\quad (x,y)\mapsto \operatorname {Im} B(x,y)}$ alternáló bilineáris forma.

• Kanonikus nem elfajuló bilineáris forma:

${\displaystyle V\times V^{*}\to K,\quad (v,f)\mapsto \langle v,f\rangle =f(v).}$

Legyen ${\displaystyle B\colon V\times W\to K}$ bilineáris forma. Ekkor az

${\displaystyle ^{\perp }W\colon =\left\{v\mid \forall w\in W\colon B(v,w)=0\right\}\subseteq V}$

halmaz altér ${\displaystyle V}$-ben; ez a bilineáris forma balmagja vagy balradikálja. A ${\displaystyle ^{\perp }W}$ szimbólum azt jelenti, hogy a balmag elemei pontosan azok, amelyek a bilineáris forma értelmében ortogonálisak a teljes ${\displaystyle W}$ térre.

Analóg módon,

${\displaystyle V^{\perp }\colon =\left\{w\mid \forall v\in V\colon B(v,w)=0\right\}\subseteq W}$

a jobbmag vagy jobbradikális. Ha a ${\displaystyle B\colon V\times V\to K}$ bilineáris forma szimmetrikus, akkor a bal- és a jobbmag egybeesik, és ez az altér ${\displaystyle B}$ elfajulási tere.

Az ${\displaystyle R^{\perp }}$ és ${\displaystyle ^{\perp }S}$ írásmódok analóg definícióval használhatók az ${\displaystyle R\subseteq V}$ illetve ${\displaystyle S\subseteq W}$ részhalmazokra.

Minden ${\displaystyle B}$ lineáris forma definiál két lineáris leképezést:

${\displaystyle B_{l}\colon V\to W^{*},\quad v\mapsto \left(w\mapsto B(v,w)\right)}$

és

${\displaystyle B_{r}\colon W\to V^{*},\quad w\mapsto \left(v\mapsto B(v,w)\right).}$

A jobb- és a balmag ezeknek a leképezéseknek a magja:

${\displaystyle \ker B_{l}={}^{\perp }W}$

${\displaystyle \ker B_{r}=V^{\perp }}$

Ha mindkét mag triviális, azaz ${\displaystyle B_{l}}$ és ${\displaystyle B_{r}}$ is injektív, akkor a bilineáris forma nem elfajuló. Ha ez nem teljesül, akkor a bilineáris forma elfajuló. Ha a ${\displaystyle B_{l}}$ és ${\displaystyle B_{r}}$ leképezések bijektívek, azaz izomorfizusok, akkor a bilineáris forma tökéletes párosítás. Véges dimenzióban ezek ekvivalensek, tehát a nem elfajuló és a tökéletes párosítás egymás szinonimájaként használható.

Így egy bilineáris forma nem elfajult, ha teljesülnek a következők:

• Minden ${\displaystyle v\in V\setminus \{0\}}$ vektorhoz létezik egy ${\displaystyle w\in W}$ vektor úgy, hogy ${\displaystyle B(v,w)\neq 0}$.
• Minden ${\displaystyle w\in W\setminus \{0\}}$ vektorhoz létezik egy ${\displaystyle v\in V}$ vektor úgy, hogy ${\displaystyle B(v,w)\neq 0.}$

Ha egy bilineáris forma szimmetrikus, akkor pontosan akkor nem elfajuló, ha elfajulási tere a nullvektortér.

Véges dimenziós ${\displaystyle V,W,}$ vektorterekben jelölje a megfelelő dimenziókat ${\displaystyle \dim(V)=n,\dim(W)=m}$. Ekkor a tereknek van rendre egy-egy ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$ és ${\displaystyle \{f_{1},\ldots ,f_{m}\}}$ bázisa.

Egy ${\displaystyle B\colon V\times W\to K}$ bilineáris forma erre a bázisra vonatkozóan ábrázolható ${\displaystyle M_{B}\in K^{n\times m}}$ mátrixszal úgy, hogy

${\displaystyle {(M_{B})}_{ij}:=B(e_{i},f_{j})}$.

Ha ${\displaystyle x}$ és ${\displaystyle y}$ rendre az ${\displaystyle v\in V}$ és ${\displaystyle w\in W}$ vektorok koordinátavektorai, vagyis :${\displaystyle v=\sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i},\;w=\sum _{j=1}^{m}y_{j}f_{j},\quad }$, akkor

${\displaystyle B(v,w)=x^{T}M_{B}\,y={\begin{pmatrix}x_{1}\dots x_{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B(e_{1},f_{1})&\cdots &B(e_{1},f_{m})\\\vdots &\ddots &\vdots \\B(e_{n},f_{1})&\dots &B(e_{n},f_{m})\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{m}\end{pmatrix}}}$,

ahol a mátrixszorzás eredménye egy ${\displaystyle 1\times 1}$-es mátrix, tehát egy skalár.

Megfordítva, ha ${\displaystyle M}$ tetszőleges ${\displaystyle n\times m}$-es mátrix, akkor

${\displaystyle B_{M}(v,w):=x^{T}M\,y}$

egy ${\displaystyle B_{M}\colon V\times W\to K}$-bilineáris forma.

Legyenek ${\displaystyle e'}$ és ${\displaystyle f'}$ rendre további bázisok ${\displaystyle V}$-ben és ${\displaystyle W}$-ben, illetve legyen ${\displaystyle {}_{e'}{\mathbf {1} }_{e}}$ az ${\displaystyle e}$ bázisról ${\displaystyle e'}$ bázisra áttérés mátrixa. Ekkor ${\displaystyle B}$ mátrixa az új bázisban

${\displaystyle A'={}_{e}{\mathbf {1} }_{e'}^{T}\cdot A\cdot {}_{f}{\mathbf {1} }_{f'}}$.

Ha ${\displaystyle V=W}$, ${\displaystyle e=f}$ és ${\displaystyle e'=f'}$, akkor ${\displaystyle A}$ és ${\displaystyle A'}$ hasonló mátrixok.

• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$-ben a standardbázisban a skaláris szorzás mátrixa az egységmátrix.
• Ha ${\displaystyle V=W}$, és ${\displaystyle V}$ és ${\displaystyle W}$ ugyanazt a bázist használja, akkor teljesülnek a következők:

• A mátrix pontosan akkor szimmetrikus, ha a bilineáris forma szimmetrikus
• A mátrix pontosan akkor ferdén szimmetrikus, ha a bilineáris forma antiszimmetrikus
• A mátrix pontosan akkor alternáló, ha a bilineáris forma alternáló.

• A ${\displaystyle B\mapsto M_{B}}$ leképezés bijekció a bilineáris formák ${\displaystyle V\times W\to K}$ tere és a ${\displaystyle n\times m}$-${\displaystyle K}$ mátrixok között. Ha kanonikus módon definiáljuk az összeadást és skalárral szorzást a bilineáris formákon: ${\displaystyle (\lambda B_{1}+B_{2})(v,w):=\lambda B_{1}(v,w)+B_{2}(v,w)}$, akkor ez a bijekció vektortérizomorfizmus is.
• Véges dimenziós vektorterekben a szimmetrikus bilineáris formákhoz van olyan bázis, amiben mátrixuk diagonális, feltéve, hogy ${\displaystyle \operatorname {char} (K)\neq 2}$. Pozitív definit bilineáris formák esetén ilyen bázis található a Gram–Schmidt ortogonalizációval.
• Ha ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$, akkor található olyan bázis, ahol az átlón csak az 1, -1 és a 0 értékek szerepelnek. Ez Sylvester tehetetlenségi tétele.

• A ${\displaystyle V\times W\to K}$ bilineáris formák megfeleltethetők ${\displaystyle V\otimes W\to K}$ lineáris leképezéseknek; lásd tenzorszorzat.
• Ha egy leképezés nem a ${\displaystyle K}$ alaptestbe megy, hanem szintén egy vektortérbe, akkor a leképezés bilineáris leképezés.
• A bilineáris forma általánosítása több változóra multilineáris forma.
• Komplex számok fölött kevésbé a bilineáris formák jelentősek. Ott a szeszkvilineáris formák töltik be ugyanazt a szerepet,

mint valós test fölött a bilineáris formák. A skaláris szorzást is szeszkvilineáris formával értelmezik.

• Gerd Fischer: Lineare Algebra, Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-03217-0

Ez a szócikk részben vagy egészben a Bilinearform című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.