Diffúziós egyenlet

A diffúziós egyenlet az anyagban végbemenő diffúziós folyamat dinamikai sűrűségét leíró parciális differenciálegyenlet. A diffúziós egyenlet a diffúziószerű viselkedés leírására – például az allélek diffúziója a populációgenetikában[1] – is használható.

Képlet

∂ ϕ ( r , t ) ∂ t = ∇ ⋅ [ D ( ϕ , r )   ∇ ϕ ( r , t ) ] , {\displaystyle {\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\nabla \cdot {\big [}D(\phi ,\mathbf {r} )\ \nabla \phi (\mathbf {r} ,t){\big ]},}

ahol ϕ(r, t), az r helyen lévő anyag sűrűsége, t , az idő, és D(ϕ, r) a együttes diffúziós együttható az r helyen lévő ϕ sűrűségnél, és ∇ reprezentálja a vektor differenciáloperátort. Ha a diffúziós együttható függ a sűrűségtől, akkor az egyenlet nemlineáris, máskülönben lineáris. Még általánosabban, ha D szimmetrikus pozitív definit mátrix, akkor az egyenlet anizotróp (lásd izotrópia) diffúziót ír le, melynek képlete (háromdimenziós diffúzió):

∂ ϕ ( r , t ) ∂ t = ∑ i = 1 3 ∑ j = 1 3 ∂ ∂ x i [ D i j ( ϕ , r ) ∂ ϕ ( r , t ) ∂ x j ] {\displaystyle {\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left[D_{ij}(\phi ,\mathbf {r} ){\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial x_{j}}}\right]}

Ha D konstans, akkor az egyenlet a következő lineáris differenciálegyenletté egyszerűsödik: ∂ ϕ ( r , t ) ∂ t = D ∇ 2 ϕ ( r , t ) , {\displaystyle {\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=D\nabla ^{2}\phi (\mathbf {r} ,t),} melyet hőegyenletnek is hívnak.

Történet

A diffúziós egyenlet eredete visszanyúlik az Fick-féle részecskékre vonatkozó diffúziós egyenletre, melyet Adolf Fick állított fel 1855-ben.[2] A diffúziós egyenletnek nagyszámú analitikus megoldása ismert[3][4]

Diszkretizálás

A diffúziós egyenlet mind térben, mind időben, folytonos. Lehetséges diszkretizálni térben és időben vagy külön-külön, az alkalmazástól függően. A diszkretizálásra akkor van főleg szükség, ha digitális számítógépen történik a további felhasználás. A diszkretizáláskor időszeletekre bontjuk a folytonos függvényt, mely nem befolyásolja a jelenséget. Ha csak a térben történik a diszkretizálás, akkor a diszkrét Gauss-kernel alkalmazható. Ha térben és időben egyszerre diszkretizálunk, akkor a véletlenszerű mozgás (bolyongás) módszere használható.

Források

  • Jacobs, M.H: Diffusion Processes. Berlin/Heidelberg: Springer. 1935.  
  • Crank, J: The Mathematics of Diffusion. Oxford: Clarendon Press. 1956.  
  • Ghez, R: Diffusion Phenomena. Long Island, NY, USA: Dover Publication Inc. 2001.
  • Thambynayagam, R.K.M: The Diffusion Handbook: Applied Solutions for Engineers. New York: McGraw-Hill. 2011.
  • Bennett, T.D: Transport by Advection and Diffusion. John Wiley & Sons. 2013.
  • Gillespie, D.T.; Seitaridou, E: Simple Brownian Diffusion. Oxford University Press. 2013.
  • Vogel, G: Adventure Diffusion. Springer. 2019.
  • Newman, J and Battaglia J: The Newman Lectures on Transport Phenomena. New York: Jenny Stanford Publishing. 2021.

Kapcsolódó szócikkek

Jegyzetek

  1. ↑ Archivált másolat. [2012. április 15-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2013. február 5.)
  2. ↑ A. Fick, Ueber Diffusion, Pogg. Ann. Phys. Chem. 170 (4. Reihe 94), 59-86 (1855).
  3. ↑ Barna, I.F.; Mátyás, L (2022). „Advanced Analytic Self-Similar Solutions of Regular and Irregular Diffusion Equations”. Mathematics 10, 3281. o. DOI:10.3390/math10183281.  
  4. ↑ G.W. Bluman and J.D. Cole. „The General Similarity Solution of the Heat Equation”. J. Math. Mech., 1969 (18), 1025. o.