Einstein-tenzor

A differenciálgeometriában az Einstein-tenzort (fordított Ricci-tenzornak is hívják) arra használják, hogy alkalmazásával kifejezzék a Riemann-sokaság görbültségét.^[1] Az általános relativitáselméletben az Einstein-tenzor az Einstein-féle gravitációs téregyenleteknél fordul elő, melyek az energiával kapcsolatos megfontolásokkal konzisztens módon írják le a téridő görbültségét.^[2]

Az Einstein-tenzor (${\displaystyle \mathbf {G} }$) egy másodrendű tenzor a Riemann-sokaságban. Indexmentes kifejezéssel:

${\displaystyle \mathbf {G} =\mathbf {R} -{\frac {1}{2}}\mathbf {g} R,}$

ahol ${\displaystyle \mathbf {R} }$ a Ricci-tenzor, ${\displaystyle \mathbf {g} }$ a metrikus tenzor és ${\displaystyle R}$ a skalár görbület. Komponens formában kifejezve az előző egyenlet:

${\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }R.}$

Az Einstein-tenzor szimmetrikus:

${\displaystyle G_{\mu \nu }=G_{\nu \mu }\,}$

és az energia-impulzus tenzorhoz hasonlóan divergenciamentes

${\displaystyle G^{\mu \nu }{}_{;\nu }=0\,.}$

A Ricci-tenzor csak a metrikus tenzortól függ, így az Einstein-tenzort közvetlenül a metrikus tenzorral lehet definiálni. Azonban ez a kifejezés komplex, és ritkán használják. Ennek a kifejezésnek a komplexicitása jól látható, ha a Ricci-tenzort a Christoffel-szimbólumokkal fejezzük ki:

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{\alpha \beta }&=R_{\alpha \beta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }R\\&=R_{\alpha \beta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta }R_{\gamma \zeta }\\&=(\delta _{\alpha }^{\gamma }\delta _{\beta }^{\zeta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta })R_{\gamma \zeta }\\&=(\delta _{\alpha }^{\gamma }\delta _{\beta }^{\zeta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta })(\Gamma _{\gamma \zeta ,\epsilon }^{\epsilon }-\Gamma _{\gamma \epsilon ,\zeta }^{\epsilon }+\Gamma _{\epsilon \sigma }^{\epsilon }\Gamma _{\gamma \zeta }^{\sigma }-\Gamma _{\zeta \sigma }^{\epsilon }\Gamma _{\epsilon \gamma }^{\sigma }),\end{aligned}}}$

ahol ${\displaystyle \delta _{\beta }^{\alpha }}$ a Kronecker-tenzor és a Christoffel-szimbólum ${\displaystyle \Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }}$ meghatározása:

${\displaystyle \Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }={\frac {1}{2}}g^{\alpha \epsilon }(g_{\beta \epsilon ,\gamma }+g_{\gamma \epsilon ,\beta }-g_{\beta \gamma ,\epsilon }).}$

Egy lokális közeli pont speciális esetében, a metrikus tenzor első deriváltjai eltűnnek, és az Einstein-tenzor komponens formája jelentős mértékben egyszerűsödik:

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{\alpha \beta }&=g^{\gamma \mu }{\bigl [}g_{\gamma [\beta ,\mu ]\alpha }+g_{\alpha [\mu ,\beta ]\gamma }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\epsilon \sigma }(g_{\epsilon [\mu ,\sigma ]\gamma }+g_{\gamma [\sigma ,\mu ]\epsilon }){\bigr ]}\\&=g^{\gamma \mu }(\delta _{\alpha }^{\epsilon }\delta _{\beta }^{\sigma }-{\frac {1}{2}}g^{\epsilon \sigma }g_{\alpha \beta })(g_{\epsilon [\mu ,\sigma ]\gamma }+g_{\gamma [\sigma ,\mu ]\epsilon }),\end{aligned}}}$

ahol a szögletes zárójel konvencionálisan az antiszimmetrikus tenzorra utal:

${\displaystyle g_{\alpha [\beta ,\gamma ]\epsilon }\,={\frac {1}{2}}(g_{\alpha \beta ,\gamma \epsilon }-g_{\alpha \gamma ,\beta \epsilon }).}$

Az Einstein-tenzor nyoma kiszámítható a metrikus tenzor (${\displaystyle g^{\mu \nu }}$) definíciója egyenletének összevonásával: ${\displaystyle n}$ dimenzióban:

${\displaystyle {\begin{aligned}g^{\mu \nu }G_{\mu \nu }&=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g^{\mu \nu }g_{\mu \nu }R\\G&=R-{1 \over 2}(nR)\\G&={{2-n} \over 2}R\end{aligned}}}$

A 4 dimenzió speciális esete adja a ${\displaystyle G\,}$-t, az Einstein-tenzor nyoma, mint a negatív ${\displaystyle R\,}$, a Ricci-tenzor nyoma.

Így az Einstein-tenzor másik neve a fordított nyomú Ricci-tenzor.

Az Einstein-tenzor lehetővé teszi, hogy az Einstein-egyenleteket (a csillagászati állandó nélkül) tömörebb formában lehessen kifejezni:

${\displaystyle G_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }.}$

mely a geometria egységrendszerben:

${\displaystyle G_{\mu \nu }=8\pi \,T_{\mu \nu }.}$

Az Einstein-tenzor explicit formáját tekintve az Einstein-tenzor a metrikus tenzor egy nemlineáris függvénye, a második parciális deriváltja lineáris. Mint egy szimmetrikus másodrendű tenzornak, az Einstein-tenzornak 10 független komponense van egy 4 dimenziós térben. Ebből következik, hogy az Einstein-egyenletek 10 kvázilineáris másodrendű parciális differenciálegyenletet jelentenek a metrikus tenzornak. A Bianchi-azonosságot szintén egyszerűen lehet kifejezni az Einstein-tenzor segítségével:

${\displaystyle \nabla _{\mu }G^{\mu \nu }=0.}$

• Ohanian, Hans C.; Remo Ruffini: Gravitation and Spacetime (Second edition ed.). (hely nélkül): W. W. Norton & Company. 1994. ISBN 0-393-96501-5  
• Martin, John Legat: Gravitation General Relativity: A First Course for Physicists. (hely nélkül): Prentice Hall International Series in Physics and Applied Physics (Revised edition ed.). Prentice Hall. 1995. ISBN 0-13-291196-5  
• Landau - Lifsic: Elméleti fizika II. Tankönyvkiadó, Budapest, 1976
• Novobátzky Károly: A relativitás elmélete. Tankönyvkiadó, Budapest, 1963
• Perjés Zoltán: Általános relativitáselmélet. Akadémiai Kiadó. Budapest. 2006. ISBN 9630584239

• Tenzor
• Téridő
• Metrikus tenzor
• Einstein-egyenletek
• Általános relativitáselmélet
• Parciális derivált
• Kronecker-delta