Euklideszi tér (lineáris algebra)

Ez a szócikk vagy szakasz lektorálásra, tartalmi javításokra szorul. A felmerült kifogásokat a szócikk vitalapja részletezi (vagy extrém esetben a szócikk szövegében elhelyezett, kikommentelt szövegrészek). Ha nincs indoklás a vitalapon (vagy szerkesztési módban a szövegközben), bátran távolítsd el a sablont!
Csak akkor tedd a lap tetejére ezt a sablont, ha az egész cikk megszövegezése hibás. Ha nem, az adott szakaszba tedd, így segítve a lektorok munkáját! (2007 júniusából)

A „Tér” lehetséges további jelentéseiről lásd: Tér (egyértelműsítő lap).

Euklideszi térnek^{[* 1]} nevezzük azon T számtest vagy integritási tartomány feletti vektortereket, melyekben a vektorterek axiómáin felül értelmezve van a skaláris szorzat (euklideszi norma).

Euklideszi tér axiómái

A skaláris szorzat a V-beli rendezett párokhoz egy, T-beli elemet rendelő függvény, vagyis
$\forall {\vec {a}},{\vec {b}}\in V,{\bigl (}{\vec {a}},{\vec {b}}{\bigr )}\colon V\times V\to T$
A skaláris szorzat részben kommutatív, vagyis
$\forall {\vec {a}},{\vec {b}}\in V,{\bigl (}{\vec {a}},{\vec {b}}{\bigr )}={\overline {{\bigl (}{\vec {b}},{\vec {a}}{\bigr )}}}$ ,

ahol a felülvonás a komplex konjugálást jelöli. (Természetesen a valós esetben kommutatív).
A skalárszoros (skalár az alkotó testből, vagy int. tart.-ból) „elölről” kiemelhető, vagyis:
$\forall {\vec {a}},{\vec {b}}\in V,\forall \lambda \in T,(\lambda {\vec {a}},{\vec {b}})=\lambda ({\vec {a}},{\vec {b}})$
Összeg elölről „szétszedhető”, vagyis:
$\forall {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\in V,{\bigl (}{\vec {a}}+{\vec {b}},{\vec {c}}{\bigr )}={\bigl (}{\vec {a}},{\vec {c}}{\bigr )}+{\bigl (}{\vec {b}},{\vec {c}}{\bigr )}$

Tételek

Több kérdés is felmerülhet a definíciókkal kapcsolatban, először is az, hogy miért kellett a konjugálást bevezetni, elvetve így a kommutativitást, valamint, hogy miért pont hátulról kiemelhetők a tagok, és mi a helyzet az elöl lévő skalárszorzóval, és összeggel? Utóbbi két kérdést két egyszerű tétellel azonnal meg lehet válaszolni:

TÉTEL: $\forall {\vec {a}},{\vec {b}}\in V,\forall \lambda \in T,({\vec {a}},\lambda {\vec {b}})={\overline {\lambda }}({\vec {a}},{\vec {b}})$
Bizonyítás: Egyszerűen az axiómákból, csak „hátulra kell varázsolni a skalárszorost” a részleges kommutativitást kihasználva, így jön be a képbe a konjugált, formálisan:
$({\vec {a}},\lambda {\vec {b}})=$ (2. axióma) ${\overline {(\lambda {\vec {b}},{\vec {a}})}}=$ (3. axióma) ${\overline {\lambda ({\vec {b}},{\vec {a}})}}=$ (komplex konjugálás szorzattartó)

$={\overline {\lambda }}{\overline {({\vec {b}},{\vec {a}})}}=$ (2. axióma) ${\overline {\lambda }}({\vec {a}},{\vec {b}})$ QED

TÉTEL: $\forall {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\in V,({\vec {a}},{\vec {b}}+{\vec {c}})=({\vec {a}},{\vec {b}})+({\vec {a}},{\vec {c}})$
Bizonyítás: Teljesen hasonlóan az előzőhöz, vegyük észre, hogy ha felcseréljük a tagokat (természetesen konjugálással együtt), akkor a 4. axiómát alkalmazva kapjuk a kívánt képletet. QED

Az euklideszi norma

Minden euklideszi térben bevezethető valamilyen, „hosszúságszerű” fogalom. Ezt fogjuk euklideszi normának hívni, definíciója a következő: Az euklideszi norma egy, V-ből T-be képező, nemnegatív értékeket felvevő függvény, amelyre (jelöléssel együtt):

\left|\left|{\vec {a}}\right|\right|

{\sqrt {({\vec {a}},{\vec {a}})}}

Hajlásszög euklideszi terekben

A norma és skalárszorzat segítségével már definiálható két vektor hajlásszöge, melyen síkvektoroknál a nem nagyobb szöget értettük. A hajlásszög azon érték, melyet a cos függvény a ${\frac {({\vec {a}},{\vec {b}})}{\left|\left|{\vec {a}}\right|\right|\cdot \left|\left|{\vec {b}}\right|\right|}}$ helyen felvesz, vagyis ennek az arkusz koszinusza. A definíció jogosságához be kéne látni, hogy ez az érték mindig a [-1;1] intervallumba esik, de ez azonnal következik a Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz-egyenlőtlenségből. (Vagyis a számláló abszolút értéke mindig kisebb vagy egyenlő, mint a nevezőé.) A hajlásszög definíciójával már definiálni lehet az egymásra ortogonális, merőleges vektorokat is.

Ortogonális, ortonormált bázis

Két vektor egymásra merőleges, ortogonális, ha skaláris szorzatuk 0. Könnyen meggondolható, hogy a szokásos sík- és térvektorok esetén ez pont akkor teljesül, ha egymással bezárt szögük ${\frac {\pi }{2}}$ , vagyis a „derékszög”, hiszen ennek a koszinusza 0, így a skaláris szorzat is 0 lesz.

A következő tételhez még egy definíció kell, a normált vektoré. Egy vektor normált, ha normája az alkotó számtest (szorzás szerinti) egységeleme.

Gram-Schmidt-féle ortogonalizáció: Minden euklideszi térben létezik ortonormált bázis, vagyis olyan bázis, melynek minden vektora páronként merőleges, normájuk pedig az egységelem.

Megjegyzések

↑ A matematikus nevének szabatos átírása Eukleidész volna, tehát a szerkezet eukleidészi tér, de ebben a kifejezésben hagyományosan rögzült euklideszi alakban (lásd például Püthagorasz, de Pitagorasz-tétel stb.).