Feltételes függetlenség

A valószínűségszámításban a feltételes függetlenség az események, halmazrendszerek, valószínűségi változók függetlenségének általánosítása a feltételes valószínűség és feltételes várható érték segítségével. A feltételes függetlenséget felhasználják például valószínűségi változók felcserélhető családjainak definiálásához.

Definíció

Adva legyen az ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,P)}$ valószínűségi mező, és a ${\displaystyle \Sigma }$ eseménytéren egy ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ σ-algebra. Legyen ${\displaystyle P(\cdot |{\mathcal {A}})}$ az ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$-ra vonatkozó feltételes valószínűség.

A ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle ({\mathcal {A}}_{i})_{i\in I}}$ rész-σ-algebráinak egy ${\displaystyle ({\mathcal {A}}_{i})_{i\in I}}$ családja feltételesen független ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$-tól, ha ${\displaystyle I}$ minden véges ${\displaystyle J}$ részhalmazára és tetszőleges ${\displaystyle A_{j}\in {\mathcal {A}}_{j}}$ választása esetén, minden ${\displaystyle j\in J}$-re teljesül, hogy

${\displaystyle P\left(\bigcap _{j\in J}A_{j}|{\mathcal {A}}\right)=\prod _{j\in J}P(A_{j}|{\mathcal {A}})}$.

A feltételes valószínűség tulajdonságai alapján az identitás P-majdnem biztos.

Az ${\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}$ valószínűségi változók családja feltételesen független az ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$-tól, ha az ${\displaystyle (\sigma (X_{i}))_{i\in I}}$ generált σ-algebrák feltételesen függetlenek ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$-tól.

Megjegyzések és tulajdonságok

A független azonos eloszlás feltételes értelmezéséhez: Valószínűségi változók egy családja feltételesen független azonos eloszlású, hogyha a család feltételesen független ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$-tól és az ${\displaystyle P(\{X_{i}\in \cdot \}|{\mathcal {A}})}$ feltételes eloszlások ugyanolyanok.

Például ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ minden rész-σ-algebrája feltételesen független ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$-tól, és σ-algebrák minden független családja függetken a triviális σ-algebrától.

Források

• Achim Klenke. Wahrscheinlichkeitstheorie, 3., Berlin Heidelberg: Springer-Verlag (2013). ISBN 978-3-642-36017-6