Ferdén szimmetrikus mátrix

Az ${\displaystyle n}$-edrendű ${\displaystyle A=[a_{ij}]}$ négyzetes mátrix ferdeszimmetrikus vagy ferdén szimmetrikus mátrix, ha megegyezik a transzponáltjának (–1)-szeresével, vagyis ha ${\displaystyle A^{T}=-A}$, tehát ${\displaystyle a_{ij}=-a_{ji}}$ minden ${\displaystyle i,j=1,\dots ,n}$ indexre.

A nem 2 karakterisztikájú test fölötti ferdén szimmetrikus mátrix minden főátlóbeli eleme zérus, tekintettel a definíció szerinti ${\displaystyle a_{ii}=-a_{ii}}$ egyenlőségre minden ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ index esetén, mert csak a 0 egyenlő a saját ellentettjével.

Továbbá nem 2 karakterisztikájú test fölött a páratlan dimenziójú ferdén szimmetrikus mátrixok determinánsa nulla.

Ugyanis: ${\displaystyle A^{T}=-A\,}$, így ${\displaystyle \det(A)=\det(A^{T})=\det(-A)=(-1)^{n}\,\det(A)}$.

Példa

Az ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&7&-2\\-7&0&-1\\2&1&0\\\end{bmatrix}}}$ mátrix ferdén szimmetrikus mátrix, mert ${\displaystyle (-1)\cdot A^{T}=(-1)\cdot {\begin{bmatrix}0&-7&2\\7&0&1\\-2&-1&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&7&-2\\-7&0&-1\\2&1&0\\\end{bmatrix}}}$.

Tulajdonságok

A ferdén szimmetrikus mátrixok vektorteret alkotnak, aminek dimenziója ${\displaystyle {\frac {n(n-1)}{2}}}$.

Továbbá a vektoriális szorzás kifejezhető ferdén szimmetrikus mátrixszal:

${\displaystyle a\times b=S_{a}b}$

ahol

${\displaystyle S_{a}={\begin{pmatrix}0&-a_{3}&a_{2}\\a_{3}&0&-a_{1}\\-a_{2}&a_{1}&0\end{pmatrix}}}$

Ezzel a vektoriális szorzatot tartalmazó függvények deriváltja is kiszámíthatóvá válik.

Források

• Obádovics, J. Gyula.szerk.: Érsek Nándor: 1.3.1 Műveletek mátrixokkal., Mátrixok és differenciálegyenletrendszerek. Budapest: Scolar Kiadó (2005. május 23.). ISBN 963-9534-24-2 

Ez a matematikai tárgyú lap egyelőre csonk (erősen hiányos). Segíts te is, hogy igazi szócikk lehessen belőle!