Fixpont

Ez a szócikk a leképezések fixpontjáról szól. Hasonló címmel lásd még: Fixpont (egyértelműsítő lap).

A matematikában egy leképezés fixpontjának nevezünk egy olyan pontot, amelyet a leképezés helyben hagy. Egy leképezésnek lehet nulla, egy, véges sok, vagy végtelen sok fixpontja. Ha egy leképezés értelmezési tartományának minden pontja fixpont, akkor a leképezést identikus leképezésnek, vagy identitásnak hívjuk.

Definíció

Legyen ${\displaystyle \phi :X\rightarrow Y}$ egy leképezés, és legyen ${\displaystyle x\in X}$. Azt mondjuk, hogy ${\displaystyle x}$ fixpontja ${\displaystyle \phi }$ -nek, ha ${\displaystyle \phi (x)=x}$.

Példák

• A sík egy e egyenesre való tükrözésének fixpontja e valamennyi pontja.

• A sík egy nullától különböző v vektorral való eltolásának nincs fixpontja.

• A valós számokon értelmezett ${\displaystyle y=x^{2}}$ függvénynek fixpontja a 0 és az 1, hiszen ${\displaystyle 0^{2}=0}$ és ${\displaystyle 1^{2}=1}$.

• Jelölje D a végtelenszer differenciálható valós-valós függvények halmazán értelmezett differenciáloperátort, amely minden függvényt a deriváltjára képez le. Akkor D-nek fixpontja az ${\displaystyle e^{x}}$ függvény.

Fixpontokkal kapcsolatos nevezetes tételek

• Brouwer fixponttétele azt mondja ki, hogy ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$-ben a zárt egységgömb minden önmagára vett folytonos leképezésének van fixpontja.
• Schauder fixponttétele szerint minden olyan leképezésnek van fixpontja, ami egy véges dimenziós Banach-tér kompakt, konvex részhalmazát önmagába képezi.
• Banach fixponttétele azt állítja, hogy egy teljes metrikus tér kontrakciójának, távolságot nem növelő leképezésének van fixpontja.

A fixpontiteráció:

${\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n})}$

a Banach-fixponttételen alapul.

• Minden olyan hasonlóságnak, ami nem egybevágóság, van fixpontja.

Források

• Mathworld

További információk

• Bessenyei Mihály–Páles Zsolt: Fixponttételek és alkalmazásaik; Typotex, Bp., 2023

Ez a matematikai tárgyú lap egyelőre csonk (erősen hiányos). Segíts te is, hogy igazi szócikk lehessen belőle!