Gamma-függvény

A Γ-függvény grafikonja a valós számegyenes mentén

A Γ-függvény (gamma-függvény) a következő képlettel definiált komplex változós függvény:

Γ ( s ) := ∫ 0 ∞ t s − 1 e − t   d t . {\displaystyle \Gamma (s):=\int _{0}^{\infty }t^{s-1}e^{-t}\ dt.}

Mivel az e − t {\displaystyle e^{-t}} nagyon gyorsan 0-hoz tart, az integrál minden valós s > 0-ra sőt minden pozitív valós részű komplex s esetén létezik. Parciális integrálással adódik, hogy ha s valós része 1-nél nagyobb, akkor

Γ ( s ) = ( s − 1 ) Γ ( s − 1 ) {\displaystyle \Gamma (s)=(s-1)\Gamma (s-1)\,}

is teljesül. Emiatt a tulajdonsága miatt teljesül rá hogy ha n pozitív egész, akkor Γ(n) = (n − 1)!, azaz a gamma-függvény tekinthető a faktoriális művelet általánosításának −1 feletti valós számokra.

A faktoriálisnak léteznek más általánosításai is, de ez a legnépszerűbb és a legtöbb területen használt. A gamma-függvényt gyakran alkalmazzák a valószínűségszámítás területén, az analitikus számelméletben, s a Taylor-sorok elméletében és gyakorlatában is igen hasznos könnyítéseket lehet vele tenni. A gamma-függvény segítségével definiálható a béta-függvény és számos fontos valószínűség-eloszlás, például a gamma-eloszlás, a χ²-eloszlás, a Student-féle t-eloszlás (t-eloszlás) és az F-eloszlás.

Tulajdonságai

  • A Gauss-féle definíció:
Γ ( x ) = lim n → ∞ n ! n x x ( x + 1 ) ⋯ ( x + n ) {\displaystyle \Gamma (x)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!n^{x}}{x(x+1)\cdots (x+n)}}}
  • A Weierstrass-féle szorzatalak:
1 Γ ( x ) = x e γ x ∏ n = 1 ∞ ( 1 + x n ) e − x n , {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (x)}}=xe^{\gamma x}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)e^{-{\frac {x}{n}}},}

ahol γ az Euler-állandó.

  • A Gauss-féle sokszorozási formula:
n n x − 1 Γ ( x ) Γ ( x + 1 n ) ⋯ Γ ( x + n − 1 n ) = ( 2 π ) n − 1 2 n Γ ( n x ) {\displaystyle n^{nx-1}\Gamma (x)\Gamma \left(x+{\frac {1}{n}}\right)\cdots \Gamma \left(x+{\frac {n-1}{n}}\right)={\frac {(2\pi )^{\frac {n-1}{2}}}{\sqrt {n}}}\Gamma (nx)}
  • Ha x nem egész szám, akkor
Γ ( x ) ⋅ Γ ( 1 − x ) = π sin ⁡ π x {\displaystyle \Gamma (x)\cdot \Gamma (1-x)={\frac {\pi }{\sin \pi x}}}

Speciálisan Γ ( 1 / 2 ) = π {\displaystyle \Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}} .

  • A gamma-függvény az egyetlen, az egész komplex síkon értelmezett meromorf f(s) függvény, ami egyszerre elégíti ki az alábbi három feltételt:
( 1 ) f ( s + 1 ) = s ⋅ f ( s ) {\displaystyle (1)\quad f(s+1)=s\cdot f(s)}
( 2 ) f ( 1 ) = 1 {\displaystyle (2)\quad f(1)=1}
( 3 ) l n ( f ( s ) ) {\displaystyle (3)\quad ln(f(s))} konvex a valós egyenes (0, +∞) és a [(–k, –k+1), k pozitív egész] intervallumain.[1]
Γ ( z ) = { M e − x } ( z ) . {\displaystyle \Gamma (z)=\{{\mathcal {M}}e^{-x}\}(z).}

Aszimptotikák

A gamma-függvényt nagy z {\displaystyle z} értékekre a Stirling-formula segítségével közelíthetjük meg:

Γ ( z ) = z z − 1 2 e − z 2 π ( 1 + O ( 1 z ) ) , {\displaystyle \Gamma \left(z\right)=z^{z-{\frac {1}{2}}}e^{-z}{\sqrt {2\pi }}\left({1+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{z}}\right)}\right),}

illetve

Γ ( z ) ∼ z z − 1 2 e − z 2 π ( 1 + 1 12 z − 1 + 1 288 z − 2 − 139 51840 z − 3 − … ) . {\displaystyle \Gamma \left(z\right)\sim z^{z-{\frac {1}{2}}}e^{-z}{\sqrt {2\pi }}\left({1+{\frac {1}{12}}z^{-1}+{\frac {1}{288}}z^{-2}-{\frac {139}{51840}}z^{-3}-\ldots }\right).}

Logaritmusának aszimptotikus hatványsora:

ln ⁡ Γ ( z ) ∼ ( z − 1 2 ) ln ⁡ z − z + 1 2 ln ⁡ 2 π + 1 12 z − 1 360 z 3 + 1 1260 z 5 − … . {\displaystyle \ln \Gamma \left(z\right)\sim \left({z-{\frac {1}{2}}}\right)\ln z-z+{\frac {1}{2}}\ln 2\pi +{\frac {1}{12z}}-{\frac {1}{360z^{3}}}+{\frac {1}{1260z^{5}}}-\ldots \,.}

Hányados aszimptotikus előállítása:

Γ ( x + a ) Γ ( x + b ) ∼ x a − b ( 1 + 1 2 x ( a − b ) ( a + b − 1 ) + 1 24 x 2 ( a − b ) ( a − b − 1 ) ( 3 ( a + b − 1 ) 2 − a + b − 1 ) + … ) . {\displaystyle {\frac {\Gamma \left({x+a}\right)}{\Gamma \left({x+b}\right)}}\sim x^{a-b}\left({1+{\frac {1}{2x}}\left({a-b}\right)\left({a+b-1}\right)+{\frac {1}{24x^{2}}}\left({a-b}\right)\left({a-b-1}\right)\left({3\left({a+b-1}\right)^{2}-a+b-1}\right)+\ldots }\right).}

Jegyzetek

  1. ↑ Importance of Log Convexity of the Gamma Function

Források

  • Fazekas F. – Frey T.: Operátorszámítás, speciális függvények (Tankönyvkiadó, 1965)
  • Fazekas I. (szerk.): Bevezetés a matematikai statisztikába (Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen, 2000)

További információk

  • Weisstein, Eric W.: "Gamma Function". – MathWorld – A Wolfram Web Resource (angolul)
Faktoriális algoritmusok
  • Faktoriális algoritmusok
Faktoriális közelítései
  • Közelítő képletek
Számológépek a faktoriálishoz
  • Számológépek a faktoriálishoz

Kapcsolódó szócikkek

  • Matematika Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap