Hasadási lemma

Tekintsük a

${\displaystyle 0\to A\;{\xrightarrow {\ f\ }}\;B\;{\xrightarrow {\ g\ }}\;C\to 0}$

rövid egzakt sorozatot valamely Abel-kategóriában. Ekkor a hasadási lemma azt állítja, hogy a következők ekvivalensek:

• bal hasadás: létezik olyan t : B → A, hogy t ∘ f az identitás A-n;
• jobb hasadás: létezik olyan u: C → B, hogy g ∘ u az identitás C-n;
• direkt összeg: B izomorf az ${\displaystyle A\oplus C}$ direkt összeggel.

Ha ezen ekvivalens feltételek teljesülnek, akkor azt mondjuk, hogy a rövid egzakt sorozat hasad.

A csoportok kategóriája nem Abel-kategória, és itt a hasadási lemma a fenti formában nem is teljesül. A következő gyengébb állítás igaz: ha egy rövid egzakt sorozat bal hasad vagy direkt összeg, akkor a másik két állítás is teljesül. Ugyanakkor ha jobb hasad, akkor nem szükségszerű, hogy a sorozat akár bal hasadjon, akár direkt szorzat legyen: ilyenkor csak az állítható, hogy B izomorf az ${\displaystyle A\rtimes C}$ szemidirekt szorzattal.

Források

• Saunders Mac Lane: Homology. Reprint of the 1975 edition, Springer Classics in Mathematics, ISBN 3-540-58662-8, p. 16
• Allen Hatcher: Algebraic Topology. 2002, Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0, p. 147

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Splitting lemma című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.